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Vidéo de question : Calcul de la distance entre deux plans Mathématiques

Déterminez, au centième près, la distance entre les deux plans d'équations 𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4 et (2𝑥/13) + (4𝑦/13) + (8𝑧/13) = 1.

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Transcription de vidéo

Calculez, au centième près, la distance entre les deux plans d’équations 𝑥 plus deux 𝑦 plus quatre 𝑧 égale à quatre et deux 𝑥 sur 13 plus quatre 𝑦 sur 13 plus huit 𝑧 sur 13 égale à un.

Pour calculer la distance entre deux plans, il faut d’abord vérifier que ces deux plans sont parallèles. Rappelons que deux plans sont parallèles si les deux vecteurs normaux à ces plans sont colinéaires. Le vecteur normal à un plan a pour composantes les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Et donc, le vecteur normal au premier plan est le vecteur un, deux, quatre. Le vecteur normal au deuxième plan est deux sur treize, quatre sur treize, huit sur treize.

Or, en multipliant par deux sur 13 chaque composante du vecteur normal du premier plan, on trouve chaque composante du vecteur normal du deuxième plan, donc les vecteurs normaux sont les multiples scalaires de l’un de l’autre , et ils sont colinéaires. Par conséquent, les plans sont également parallèles. Et donc, pour trouver la distance entre deux plans, nous pouvons prendre un point appartenant à un des plans, puis calculer la distance perpendiculaire de ce point à l’autre plan.

Peu importe sur quel plan nous prenons un point. Prenons donc le premier plan d’équation 𝑥 plus deux 𝑦 plus quatre 𝑧 égale à quatre et prenons un point appartenant à ce plan. Nous pouvons prendre les valeurs 𝑥 égale à zéro et 𝑦 égale à zéro dans l’équation de ce plan. Cela donne zéro plus deux fois zéro plus quatre 𝑧 est égal à quatre. Puisque quatre 𝑧 est égal à quatre, alors 𝑧 est égal à un. Donc, le point zéro, zéro, un appartient à ce premier plan.

Rappelons la formule de la distance perpendiculaire, notée 𝐷 majuscule, entre le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un, et le plan d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale à zéro : 𝐷 égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Les coordonnées du point zéro, zéro, un sont les valeurs 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑧 indice un.

Pour trouver les coefficients 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 du deuxième plan, il est utile de réécrire cette équation en la multipliant par 13. Nous avons donc l’équation deux 𝑥 plus quatre 𝑦 plus huit 𝑧 moins 13 égale à zéro. Remarquez que nous avons également déplacé le terme constant pour que 𝑑 soit du même côté de l’équation pour être sous la forme utilisée dans la formule. Nous allons donc utiliser les valeurs 𝑎 égale à deux, 𝑏 égale à quatre, 𝑐 égale à huit et 𝑑 égale à moins 13. Maintenant, nous pouvons les remplacer dans la formule.

Et donc, nous avons 𝐷 égale à la valeur absolue de deux fois zéro plus quatre fois zéro plus huit fois un plus moins 13 sur la racine carrée de deux au carré plus quatre au carré plus huit au carré. En simplifiant, nous obtenons la valeur absolue de huit moins 13 sur la racine carrée de quatre plus 16 plus 64. Au numérateur, la valeur absolue de moins cinq est cinq. Et au dénominateur, nous avons la racine carrée de 84.

Comme on nous demande une valeur au centième près, il faut l’écrire sous forme décimale. C’est 0,5455 unité et quelques. La réponse est donc que la distance entre ces deux plans est de 0,55 unité de longueur, au centième près.

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