Transcription de la vidéo
En déterminant la somme d'une suite géométrique infinie, exprimez 0,4333 etcetera comme une fraction ordinaire.
On observe d'abord que cette notation du barre sur seulement le trois signifie que c'est le trois qui est périodique. Il s'agit donc du nombre décimal 0,4 suivi d'une suite infinie de trois. Nous voulons exprimer cette décimale sous forme de fraction. On nous dit d'aborder ce problème en trouvant la somme d'une suite géométrique infinie. On doit donc réfléchir à la façon dont on peut exprimer cette décimale en une somme. Eh bien, on peut séparer les valeurs de chaque position décimale. On peut donc écrire cette décimale sous la forme 0,4 plus 0,03 plus 0,003 plus 0,0003 et ainsi de suite. Les termes 0,03, 0,003, 0,0003, et ainsi de suite sont chacun 10 fois plus petits que le terme précédent. Ils forment donc une suite géométrique dont la raison est 0,1, soit un dixième.
Le premier terme de la suite 𝑎 un est 0,03. Puisque la valeur absolue de la raison est inférieure à un, cette série est convergente. Et donc on peut trouver sa somme. La somme d'une suite géométrique infinie dont le premier terme est 𝑎 un et de raison 𝑟, dont la valeur absolue doit être strictement inférieure à un, est 𝑎 un sur un moins 𝑟. En remplaçant 𝑎 un par 0,03 à et 𝑟 par 0,1, on obtient que la somme de cette suite géométrique infinie est 0,03 sur un moins 0,1. Soit 0,03 sur 0,9. Et on peut alors multiplier le numérateur et le dénominateur par 100 pour qu'ils soient tous deux des entiers. Et cela donne trois sur 90. Trois sur 90 peut bien sûr être simplifié en un sur 30 en divisant le numérateur et le dénominateur par trois.
On constate alors que le nombre à développement décimal périodique, 0,0333 etcetera, est égal à un sur 30. Mais il faut aussi ajouter le 0,4. Eh bien, 0,4 en fraction correspond à quatre dixièmes, ou deux cinquièmes. Donc le nombre d’écriture décimale périodique 0,4333 etcetera est égal à quatre dixièmes plus un sur 30. Soit 12 sur 30 plus un sur 30, ce qui donne 13 sur 30. On ne peut pas simplifier davantage cette fraction, car le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs autres que un. Ainsi, on a répondu à notre question.
On peut vérifier cela en utilisant la division posée simplifiée. Afin de diviser 13 par 30, on peut d'abord diviser par 10, ce qui donne 1,3, puis diviser 1,3 par trois. Tout d'abord, puisque la division de un par trois ne passe pas, on met un zéro et on laisse le un. 13 sur trois donne quatre plus un reste de un. 10 sur trois donne trois plus un reste de un. 10 sur trois donne trois plus un reste de un. 10 sur trois donne trois plus un reste de un. Et nous pouvons voir que cela va continuer à l’infini. On constate donc que 13 divisé par 30 est bien égal au nombre d’écriture décimale périodique 0,4333 etcetera. Alors la réponse à la question est donc que 0,4333 etcetera d’écriture décimale périodique est égal à 13 sur 30.
