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Vidéo de question : Résoudre de problèmes impliquant des arrangements et des combinaisons Mathématiques

Soit 𝑋 = {𝑥: 𝑥 ∈ ℤ, 7 ≤ 𝑥 ≤ 16} et 𝑌 = {(𝑎; 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, 𝑎 ≠ 𝑏}. Déterminez la valeur de 𝑛(𝑌), où 𝑛(𝑌) est le nombre d’éléments dans 𝑌.

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Transcription de vidéo

Soit l’ensemble 𝑋 contenant les valeurs 𝑥, où 𝑥 est un entier supérieur ou égal à sept et inférieur ou égal à 16, et 𝑌 les couples 𝑎, 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 existent dans l’ensemble 𝑋 et 𝑎 n’est pas égal à 𝑏. Déterminez la valeur de 𝑛 de 𝑌, où 𝑛 de 𝑌 est le nombre d’éléments dans 𝑌.

On nous dit dans l’énoncé que 𝑋 est l’ensemble des entiers supérieurs ou égaux à sept et inférieurs ou égaux à 16. Cela signifie que 𝑋 représente les entiers compris entre sept et 16 inclus, soit un total de 10 éléments. L’ensemble 𝑌 est l’ensemble des couples formées de ces éléments sans répétition. Une façon de résoudre ce problème serait d’utiliser le principe fondamental du dénombrement.

Comme il y a 10 éléments de l’ensemble 𝑋, il y a 10 valeurs possibles de 𝑎. Puisque 𝑎 n’égale pas 𝑏, il y a alors neuf valeurs possibles de 𝑏. En multipliant 10 par neuf, on obtient 90. Cela signifie qu’il y a un total de 90 éléments possibles dans 𝑌. Il y a 90 couples différentes dans l’ensemble des entiers de sept à 16.

Alternativement, nous aurions pu utiliser notre connaissance des arrangements sans répétition. Ici, 𝑛𝐴𝑟 est égal à 𝑛 factorielle divisé par 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Il y a 10 éléments dans l’ensemble 𝑋. Et nous en sélectionnons deux pour chaque couple. Cela signifie que nous devons calculer 10𝐴 deux. Cela équivaut à 10 factorielle divisé par huit factorielle. Le numérateur peut être réécrit comme 10 multiplié par neuf multiplié par huit factorielle. Nous pouvons alors diviser le numérateur et le dénominateur par huit factorielle, nous laissant encore une fois avec 10 multiplié par neuf. Cela confirme qu’il y a 90 paires ordonnées dans l’ensemble 𝑌.

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