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Vidéo de question : Détermination de l’équation d’une sphère à partir de son rayon et des coordonnées de son centre Mathématiques

Donnez l'équation de la sphère de centre (11 ; 8 ; −5) et de rayon 3 sous forme standard.

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Transcription de vidéo

Donnez l’équation de la sphère de centre 11, huit, moins cinq et de rayon trois, sous forme standard.

Commençons par rappeler ce qu’on appelle la forme standard de l’équation d’une sphère. Soit une sphère dont le centre est le point de coordonnées 𝑎, 𝑏, 𝑐, et dont le rayon mesure 𝑟 unités, alors l’équation de cette sphère sous forme standard est 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 au carré, où 𝑥, 𝑦, 𝑧 sont les coordonnées d’un point de la surface de la sphère.

On nous donne le centre et le rayon de la sphère. Remplaçons les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑟 dans la forme standard. Nous obtenons 𝑥 moins 11 au carré plus 𝑦 moins huit au carré plus 𝑧 moins moins cinq au carré égale trois au carré.

Il faut faire attention ici. Une erreur courante serait d’oublier un des signes moins et d’écrire seulement 𝑧 moins cinq au carré. Mais on retranche moins cinq. Il faut donc écrire 𝑧 moins moins cinq au carré. Bien sûr, ceci se simplifie, car les deux signes moins deviennent un signe plus. On a 𝑧 moins moins cinq est égal à 𝑧 plus cinq. Cette troisième parenthèse devient donc 𝑧 plus cinq au carré. Du côté droit de l’équation, trois au carré égale neuf.

Ainsi, l’équation sous forme standard de la sphère de centre 11, huit, moins cinq et de rayon trois est 𝑥 moins 11 au carré plus 𝑦 moins huit au carré plus 𝑧 plus cinq au carré égale neuf. Si on nous demandait l’équation sous forme développée, il nous faudrait développer chacune des parenthèses, puis simplifier le résultat en regroupant les termes semblables.

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