Vidéo question :: Déterminer les zéros d’une fonction en utilisant la factorisation Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez, en utilisant la factorisation, les zéros de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑦 égal 𝑦 au carré plus huit 𝑦 plus sept.

Dans cette question, on nous donne une fonction d’expression 𝑓 de 𝑦 et nous pouvons voir qu’il s’agit d’une fonction du second degré en 𝑦. On nous demande de déterminer les zéros de cette fonction et on nous dit qu’il faut utiliser comme méthode, la factorisation. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que sont les zéros d’une fonction. Les zéros de toute fonction d’expression 𝑓 de 𝑦 sont les valeurs de 𝑦 telles que 𝑓 de 𝑦 vaut zéro. Autrement dit, ce sont les antécédents par la fonction qui donnent une image égale à zéro.

Il existe différentes méthodes pour déterminer les zéros d’une fonction. On nous demande d’utiliser comme méthode, la factorisation. Pour utiliser comme méthode la factorisation, commençons par préparer notre équation. On doit poser que la fonction 𝑓 évaluée en 𝑦 est égale à zéro. Cela nous donne l’équation 𝑦 au carré plus huit 𝑦 plus sept égal zéro. Nous devons résoudre cette équation et trouver la valeur de 𝑦. Pour factoriser une équation du second degré où le coefficient de 𝑦 au carré vaut un, il est possible de le faire en trouvant deux nombres dont le produit donne le terme constant, c’est-à-dire sept, et la somme donne le coefficient de 𝑦, c’est-à-dire huit.

Pour déterminer ces deux nombres, le moyen le plus simple est de commencer par lister tous les nombres que nous connaissons dont le produit est égal au terme constant. On appelle ces nombres des paires de facteurs du nombre. Dans ce cas, il n’y a qu’une seule paire. Un fois sept est égal à sept. Et nous pouvons remarquer que la somme de ces deux nombres, un plus sept, est égale au coefficient de 𝑦. C’est à dire huit. Nous pouvons alors factoriser l’équation du second degré comme suit. Comme sept fois un égal à sept et sept plus un égal à huit, 𝑦 au carré plus huit 𝑦 plus sept est égal à 𝑦 plus sept facteur de 𝑦 plus un.

Et nous pouvons vérifier cela si nous le souhaitons en développant l’expression. Nous pouvons le faire en utilisant la double distributivité. En multipliant les deux premiers termes, nous obtenons 𝑦 fois 𝑦, ce qui donne 𝑦 au carré. Ensuite, en multipliant les deux termes extérieurs, nous obtenons un multiplié par 𝑦, ce qui donne 𝑦. Puis, le produit des termes intérieurs donne sept 𝑦. Sept 𝑦 plus 𝑦 est égal à huit 𝑦. Enfin, le produit des deux derniers termes est égal à sept. Cela signifie que nous avons réussi à factoriser notre expression du second degré.

Maintenant, nous avons sur le membre gauche de l’équation un produit et nous pouvons voir que ce produit doit être égal à zéro. Et pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, soit 𝑦 plus sept est égal à zéro, soit 𝑦 plus un est égal à zéro. Nous pouvons résoudre ces deux équations et déterminer les valeurs de 𝑦. D’abord, pour résoudre 𝑦 plus sept égal zéro, nous soustrayons sept à chaque membre de l’équation ce qui donne 𝑦 égal moins sept. Ensuite, pour résoudre 𝑦 plus un égal zéro, nous soustrayons un à chaque membre de l’équation. Nous obtenons 𝑦 égal moins un. Donc, en factorisant, nous avons pu déterminer les zéros de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑦 égal à 𝑦 au carré plus huit 𝑦 plus sept. Les zéros sont moins sept et moins un.