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Vidéo de question : Utiliser les fonctions de densité de variables aléatoires continues pour déterminer des probabilités Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue avec pour fonction de densité 𝑓(𝑥)=𝑎/62𝑥 si 30≤𝑥≤32, 𝑓(𝑥)=0 sinon. Déterminez 𝑃(30,5≤𝑋≤31,5).

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue avec pour fonction de densité 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑎 sur 62 𝑥 si 𝑥 est compris entre 30 et 32, et zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit compris entre 30,5 et 31,5.

On commence par rappeler que pour une variable aléatoire continue 𝑋, la probabilité que 𝑋 appartienne à un intervalle donné est égale à l’aire sous la courbe représentative de sa fonction de densité 𝑓 de 𝑥 sur cet intervalle. Ici, la fonction de densité est une droite, car 𝑓 de 𝑥 est une fonction linéaire de 𝑥. Et on cherche la probabilité que 𝑋 appartienne à l’intervalle compris entre 30,5 et 31,5. On rappelle qu’on peut utiliser l’intégration pour déterminer l’aire sous n’importe quelle courbe, y compris sous une droite.

De manière générale, on peut déterminer la probabilité que 𝑋 appartienne à l’intervalle compris entre 𝑎 à 𝑏 en calculant l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de la fonction de densité 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Donc dans notre cas, il faut calculer l’intégrale de 30,5 à 31,5 de 𝑎 sur 62 𝑥 par rapport à 𝑥. Cette intégrale n’est pas difficile à calculer. Mais il y a un problème: on ne connaît pas la valeur de cette constante 𝑎. On doit commencer par résoudre ce problème. Pour cela, rappelons une propriété des fonctions de densité: pour une fonction de densité 𝑓 de 𝑥, l’intégrale de moins ∞ à plus ∞ de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un, ou, autrement dit, l’aire sous la totalité de la courbe est égale à un.

Ici, notre fonction de densité est nulle en dehors de l’intervalle compris entre 30 et 32, donc on sait que l’intégrale de 30 à 32 de 𝑎 sur 62 𝑥 par rapport à 𝑥 doit être égale à un. Calculer cette intégrale nous donnera une équation qui nous permettra de déterminer la valeur de 𝑎. On rappelle que pour intégrer une puissance de 𝑥 différente de moins un, on ajoute un à la puissance et on divise par cette nouvelle puissance. Donc, l’intégrale de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 au carré sur deux. Et on multiplie ensuite par la constante 𝑎 sur 62. On peut simplifier cette expression en 𝑎𝑥 au carré sur 124. Calculer la différence entre les bornes 32 et 30 doit nous donner un résultat de un.

En remplaçant 𝑥 par 32 puis par 30, on obtient que 32 au carré sur 124 fois 𝑎 moins 30 au carré sur 124 fois 𝑎 est égal à un. On factorise par 𝑎 et on calcule 32 au carré et 30 au carré, ce qui nous donne 𝑎 multiplié par 1024 sur 124 moins 900 sur 124 égale un. On peut simplifier cela pour obtenir 𝑎 fois 124 sur 124 égale un. 124 sur 124 est bien sûr égal à un. Donc, on a 𝑎 fois un égale un. On en déduit que 𝑎 est égal à un. Maintenant qu’on a déterminé la valeur de 𝑎, on peut la remplacer dans l’intégrale écrite précédemment afin de déterminer la probabilité que 𝑋 soit compris entre 30,5 et 31,5.

On obtient alors l’intégrale de 30,5 à 31,5 de un sur 62 𝑥 par rapport à 𝑥. On intègre de la même manière que précédemment et on obtient 𝑥 au carré sur 124 pris entre 30,5 et 31,5. En remplaçant 𝑥 par la borne supérieure puis par la borne inférieure, on obtient 31,5 au carré sur 124 moins 30,5 au carré sur 124. On simplifie cela en 62 sur 124 puis en un demi. Ainsi, en utilisant le fait que pour toute fonction de densité 𝑓 de 𝑥, l’intégrale de moins ∞ à plus ∞ de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 doit être égale à un, on a pu déterminer la valeur de notre inconnue 𝑎 puis utiliser l’intégration pour déterminer la probabilité que 𝑋 appartienne à l’intervalle donné dans l’énoncé. On a déterminé que la probabilité que 𝑋 soit compris entre 30,5 et 31,5 est de un demi.

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