Transcription de la vidéo
Déterminer, sous sa forme la plus simple, une expression pour le déterminant.
Voici notre matrice trois fois trois. Pour trouver le déterminant de cette matrice trois par trois, nous allons utiliser la première ligne. À la première ligne et la première colonne le terme sera positif, à la première ligne et la deuxième colonne, négatif et à la première ligne et la troisième colonne, il sera positif. Pour trouver le déterminant, nous allons le décomposer en trois plus petits déterminants. En commençant par neuf moins deux 𝑘, nous allons prendre cette valeur et la multiplier par la matrice plus petite créée en supprimant à la fois la ligne et la colonne dans lesquelles neuf moins deux 𝑘 se trouve.
Nous allons multiplier plus neuf moins deux 𝑘 par le déterminant de la matrice deux par deux créée ici. Et ce sera notre premier terme. Notre deuxième terme sera moins moins deux 𝑚 multiplié par la matrice deux fois deux que nous créons lorsque nous supprimons la ligne et la colonne où se trouve moins deux 𝑚. La matrice deux fois deux sera : moins deux 𝑘, sept 𝑛, moins deux 𝑘, neuf plus sept 𝑛. Ce sera notre deuxième terme.
En suivant la même logique, nous allons prendre sept 𝑛 et le multiplier par la matrice deux fois deux créée lorsque vous supprimez la colonne et la ligne dans laquelle se trouve sept, qui ressemblera à ceci et ce sera notre troisième terme. Maintenant, nous avons une partie calculatoire à faire. Je vais considérer la partie relative au premier terme. Et nous allons ignorer pour l’instant le deuxième et le troisième terme.
Nous commençons par neuf moins deux 𝑘, mais rappelez-vous que nous avons besoin du déterminant de cette matrice deux fois deux. Et cela signifie multiplier moins un moins deux 𝑚 par neuf plus sept 𝑛, puis soustraire de cette valeur de sept 𝑛 fois moins deux 𝑚. Et tout cela permettra de calculer notre premier terme. En regardant à l’intérieur des crochets, nous devons multiplier moins un moins deux 𝑚 par neuf plus sept 𝑛. Moins un fois neuf est égal à moins neuf. Moins un fois sept 𝑛, moins sept 𝑛. En passant à moins deux 𝑚, multiplions cela par neuf et nous obtenons moins 18𝑚. Moins deux 𝑚 fois sept 𝑛 est égal à moins 14𝑚𝑛.
Toujours à l’intérieur des crochets, nous devons multiplier sept 𝑛 par moins deux 𝑚. Cela est égal à moins 14𝑚𝑛. Et nous avons affaire à une soustraction. Nous savons que la soustraction d’une valeur négative est équivalente à une addition. Et maintenant, entre les crochets, nous avons moins 14𝑚𝑛 plus 14𝑚𝑛. Ces deux termes s’annulent. La partie restante entre les crochets est moins neuf moins sept 𝑛 moins 18𝑚. Et nous devons multiplier ceci par neuf moins deux 𝑘. Neuf fois moins neuf est égal à moins 81. Neuf fois moins sept 𝑛 égale moins 63𝑛. Neuf fois moins 18𝑚 égale moins 162𝑚.
Et avec notre moins deux 𝑘, moins deux 𝑘 fois moins neuf égale 18𝑘. Moins deux 𝑘 fois moins sept 𝑛 égale plus 14𝑛𝑘. Et moins deux 𝑘 fois moins 18𝑚 égale plus 36𝑚𝑘. Et cette valeur correspond à notre premier terme. Nous devons suivre le même processus pour trouver le deuxième et le troisième terme. Pour le deuxième terme, il s’agit de moins moins deux 𝑚, que nous pouvons écrire comme plus deux 𝑚. Et nous devons multiplier deux 𝑚 par le déterminant de cette matrice deux fois deux.
Ce déterminant est trouvé en multipliant moins deux 𝑘 fois neuf plus sept 𝑛 puis en soustrayant sept 𝑛 fois moins deux 𝑘. À l’intérieur des crochets, moins deux 𝑘 fois neuf est égal à moins 18𝑘. Moins deux 𝑘 fois sept 𝑛 égale moins 14𝑛𝑘. Nous soustrayons sept 𝑛 fois moins deux 𝑘, soit moins 14𝑛𝑘. Encore une fois, nous soustrayons une valeur négative. Pour être plus clair, on fait une addition. Ce que nous voyons maintenant, c’est moins 14𝑛𝑘 plus 14𝑛𝑘 entre crochets. En les additionnant, nous obtenons zéro. Maintenant, nous devons multiplier moins 18𝑘 par deux 𝑚. Nous obtenons moins 36𝑚𝑘. Il s’agit de notre deuxième terme.
Nous allons appliquer cette même procédure une fois de plus. Nous allons le mettre ici : sept 𝑛 fois le déterminant de cette matrice deux fois deux. Nous trouvons ceci en multipliant moins deux 𝑘 fois moins deux 𝑚 puis en soustrayant moins un moins deux 𝑚 fois moins deux 𝑘. On se place à l’intérieur des crochets, moins deux 𝑘 fois moins deux 𝑚 égale quatre 𝑚𝑘. Nous soustrayons. Nous allons distribuer ce moins deux 𝑘 sur moins un moins deux 𝑚. Moins deux 𝑘 fois moins un égale deux 𝑘. Moins deux 𝑘 fois moins deux 𝑚 égale plus quatre 𝑚𝑘.
Maintenant, nous devons distribuer ce signe négatif à la fois sur deux 𝑘 et sur quatre 𝑚𝑘. Et à l’intérieur des crochets, nous avons quatre 𝑚𝑘 moins deux 𝑘 moins quatre 𝑚𝑘. Les quatre 𝑚𝑘 s’annulent et nous avons sept 𝑛 fois moins deux 𝑘 qui, multipliés ensemble, donnent moins 14𝑛𝑘, qui est notre troisième terme. La prochaine étape est d’additionner nos premier, deuxième et troisième terme ensemble. Pour le faire, je vais libérer un peu d’espace. Donc, si vous voulez mettre la vidéo en pause pour copier tout cela, vous pouvez le faire maintenant.
Alors on y va ! Notre premier terme plus notre deuxième terme plus notre troisième terme. Avez-vous remarqué quelque chose ici ? Lorsque nous additionnons, nous avons plus 14𝑛𝑘 et moins 14𝑛𝑘 ; ceux-ci vont s’annuler – de même pour plus 36𝑚𝑘 et moins 36𝑚𝑘 – ce qui nous laisse avec moins 81 moins 63𝑛 moins 162𝑚 et 18𝑘. Nous pouvons simplifier ceci un peu plus en remarquant que toutes les constantes sont des multiples de neuf. Si nous factorisons par moins neuf, divisez le moins 81 par moins neuf et vous obtenez neuf, divisez le moins 63𝑛 par moins neuf et vous obtenez plus sept 𝑛, divisez moins 162𝑚 par moins neuf et vous obtenez plus 18𝑚. 18𝑘 divisé par moins neuf égale moins deux 𝑘. L’expression simplifiée de ce déterminant, la forme simplifiée, est moins neuf fois neuf plus sept 𝑛 plus 18𝑚 moins deux 𝑘.
