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Vidéo de question : Résoudre des équations exponentielles en utilisant les lois des exposants Mathématiques

Sachant que 5^(𝑥 - 6) × 6^(6 - 𝑥) = 216/125, déterminez la valeur de 𝑥.

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Transcription de vidéo

Sachant que cinq à la puissance 𝑥 moins six fois six à la puissance six moins 𝑥 est égale à 216 sur 125, déterminez la valeur de 𝑥.

Voici ce que nous savons. Avant de faire quoi que ce soit avec le membre gauche de notre équation, je veux décomposer cette fraction. Je veux dire 216 fois un sur 125. Puis, je veux réécrire un sur 125 comme cela : 125 à la puissance moins un.

Si vous ne savez toujours pas ce que je vise par ce raisonnement, attendez, cela devrait avoir un sens bientôt. Notre énoncé dit maintenant que cinq à la puissance 𝑥 moins six fois six à la puissance six moins 𝑥 est égal à 216 fois 125 à la puissance moins un.

Maintenant, je veux savoir puis-je écrire 216 comme une puissance avec la base six et puis-je écrire 125 comme une puissance avec la base cinq? Six au cube est égal à 216 et cinq au cube est égal à 125. Donc, nous pouvons écrire cinq au cube à la puissance moins un. Cinq au cube à la puissance moins un peut être simplifié comme cinq à la puissance moins trois. Six au cube fois cinq à la puissance moins trois est égal à cinq à la puissance 𝑥 moins six fois six à la puissance six moins 𝑥.

Ce que nous pouvons faire maintenant, c’est rendre les puissances avec les mêmes bases égales les unes aux autres. Les puissances avec une base cinq, nous dirons 𝑥 moins six égale moins trois. Et les puissances avec la base six, six moins 𝑥 est égal à trois.

Rappelez-vous que notre objectif est de trouver la valeur de 𝑥. À gauche, nous ajoutons six aux deux membres de l’équation. Moins trois plus six égale trois. 𝑥 est égal à trois. À droite, soustrayez six aux deux membres de l’équation. Moins 𝑥 est égal à moins trois. Nous recherchons un 𝑥 positif. Nous multiplions les deux membres de l’équation par moins un. 𝑥 est égal à trois.

Pour que cette équation soit vraie, la valeur de 𝑥 doit être égale à trois.

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