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Vidéo de question : Trouver le module d’un nombre complexe Mathématiques

Sachant que 𝑧 = 8 + 4𝑖, trouvez | 𝑧 |.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑧 égale huit plus quatre 𝑖, trouvez le module de 𝑧.

Eh bien, pour nous permettre de trouver le module de notre nombre complexe, tout ce que nous devons faire, c’est appliquer une règle. Et la règle est que pour un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖, son module est défini par la formule : module du nombre complexe égale racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Et juste pour nous aider à nous rappeler ce que la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 signifie, eh bien, elle signifie que nous avons le nombre complexe séparé en deux parties. Nous avons donc Re de 𝑧 égale 𝑎, c’est notre partie réelle. Et puis nous avons 𝑏, et 𝑏 égale Im de 𝑧, qui est la partie imaginaire de notre nombre complexe. Très bien, alors maintenant nous avons cette formule pour trouver le module. Nous pouvons l’appliquer et résoudre le problème.

Puisque notre nombre complexe est égal à huit plus quatre 𝑖, alors huit sera notre 𝑎. Et notre quatre, positif car nous avons un signe plus devant, va être notre 𝑏. Donc nous pouvons les remplacer dans notre formule de calcul du module. Nous allons donc obtenir module de 𝑧 égale racine carrée de huit au carré parce que c’est notre 𝑎 plus quatre au carré parce que quatre est notre 𝑏.

Très bien, alors maintenant calculons cela. Et cela nous donne que le module de 𝑧 est égal à la racine carrée de 64 plus 16. Donc le module de 𝑧 est égal à la racine de 80. Alors est-ce la réponse finale ? Eh bien, en fait, si nous arrivons à ce point et que nous avons un nombre irrationnel, ce que nous disons toujours c’est d’essayer de simplifier la réponse autant que possible. Et nous allons en fait utiliser une règle pour nous aider à simplifier notre racine de 80 car, nous savons que la racine de 𝑎𝑏 est égale à la racine de 𝑎 multipliée par la racine de 𝑏. Et ce que nous voulons faire, c’est trouver le plus grand carré diviseur. C'est-à-dire le carré qui est l’un des facteurs de 80.

Donc nous allons obtenir module de 𝑧 égale racine de 16 racine de cinq. C’est parce que 16 multiplié par cinq égale 80. Et que 16 est le plus grand carré facteur de 80. Nous pouvons donc dire que le module de 𝑧 va être égal à quatre racine de cinq. Parce que la racine carrée de 16 est quatre. Donc cela nous donne quatre racine de cinq.

Et nous avons effectivement trouvé cela en utilisant la formule selon laquelle le module d’un nombre complexe est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, lorsque le nombre complexe est écrit sous la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖.

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