Transcription de la vidéo
La droite d’équation 𝑦 plus 𝑎𝑥 égale 𝑐 passe par les points de coordonnées moins cinq, cinq et trois, 10. En utilisant des le calcul matriciel, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑐.
Avant de pouvoir utiliser des matrices pour résoudre ce problème, nous allons commencer par essayer d’écrire un système d’équations linéaires. Premièrement, nous savons que la droite d’équation 𝑦 plus 𝑎𝑥 égale 𝑐 passe par les points moins cinq, cinq et trois, 10. En d’autres termes, lorsque 𝑥 égale moins cinq, 𝑦 égale cinq. Nous pouvons donc substituer ces valeurs dans l’équation de notre droite 𝑦 plus 𝑎𝑥 égale 𝑐. Ensuite, nous pourrons répéter cette démarche avec les coordonnées trois, 10 et nous devrions alors avoir un système d’équations linéaires pour 𝑎 et 𝑐. En remplaçant 𝑦 par cinq et 𝑥 par moins cinq, notre équation devient cinq plus 𝑎 fois moins cinq égale 𝑐, qui peut également être représentée par cinq moins cinq 𝑎 égale 𝑐.
Enfin, nous allons réorganiser cette équation pour nous assurer que les variables sont du même côté. Nous le faisons en ajoutant cinq 𝑎 des deux côtés, ce qui nous donne cinq 𝑎 plus 𝑐 égale cinq. Répétons maintenant cela, mais cette fois, laissons 𝑥 égal à trois et 𝑦 égal à 10. Cela nous donne 10 plus trois 𝑎 égale 𝑐. Puis, cette fois, nous allons soustraire trois 𝑎 des deux côtés, ce qui nous donne moins trois 𝑎 plus 𝑐 est égal à 10. Nous avons maintenant un système d’équations linéaires, alors nous allons libérer de l’espace et déterminer où chercher ensuite.
Nous devons trouver un moyen de représenter le système d’équations linéaires en utilisant des matrices. Nous rappelons donc que, du fait de la multiplication d’une matrice deux deux par une matrice colonne, le système d’équations linéaires de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑒 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑓 peut être représenté en notation matricielle comme matrice deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 fois la matrice de la colonne 𝑥, 𝑦 égale la matrice de la colonne 𝑒, 𝑓. En d’autres termes, nous prenons simplement les coefficients de 𝑥 et 𝑦 et représentons cela dans une matrice deux deux. Maintenant, dans ce cas, nous travaillons avec les variables 𝑎 et 𝑐, qui ne doivent pas être confondues avec les constantes 𝑎 et 𝑐 dans notre formule générale.
Le coefficient de 𝑎 dans notre première équation est de cinq et le coefficient de 𝑐 dans notre première équation est de un. Ensuite, le coefficient de 𝑎 dans notre deuxième équation est moins trois, et encore une fois le coefficient de 𝑐 est un. Ainsi, le côté gauche de notre système d’équations linéaires peut être représenté comme la matrice cinq, un, moins trois, un fois la matrice colonne 𝑎, 𝑐. Ensuite, nous prenons les constantes cinq et 10 et nous créons une deuxième matrice de colonnes comme indiqué. Notre travail sera de résoudre cette équation matricielle en faisant de la matrice colonne 𝑎, 𝑐 le sujet de l’équation. Ainsi, imaginons que nous ayons affaire à une équation de matrice générale 𝐴𝑥 égale 𝐵, où 𝐴 est une matrice deux deux, 𝑥 est la matrice colonne des variables et 𝐵 est une autre matrice colonne.
Nous résolvons cette équation en multipliant les deux côtés par l’inverse de 𝐴. Cela fonctionne parce que l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 nous donne simplement la matrice identité. Puis, multiplier par la matrice identité toute autre matrice ne laisse que cette matrice. Ainsi, notre matrice 𝐴 est la matrice deux deux cinq, un, moins trois, un. Il devrait donc être clair que la prochaine étape sera de trouver l’inverse de cette matrice. Prenons la matrice générale deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et définissons-la comme étant égale à 𝐴.
Pour trouver son inverse, nous multiplions une matrice deux deux que nous allons définir dans un instant par un sur le déterminant de 𝐴, où le déterminant de 𝐴 est le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite moins le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. La matrice deux deux par laquelle nous multiplions cela se trouve en commutant les éléments en haut à gauche et en bas à droite, puis en changeant le signe des deux autres.
Commençons donc par trouver le déterminant de notre matrice. Nous obtenons cinq multiplié par un moins un multiplié par moins trois. Soit cinq moins moins trois, ce qui est bien sûr égal à huit. Ainsi, pour trouver l’inverse de notre matrice 𝐴, nous allons multiplier un sur huit par une matrice deux deux. Cette matrice est trouvée en commutant les éléments en haut à gauche et en bas à droite, puis en changeant simplement le signe des deux autres. Ainsi, l’inverse de 𝐴 est un huitième fois la matrice un, moins un, trois, cinq. Bien que nous puissions distribuer un huitième à travers notre matrice deux deux, cela créerait une matrice très lourde. Nous allons donc le faire à la fin.
Rappelez-vous que pour trouver la matrice variable 𝑥 dans l’équation de la matrice 𝐴𝑥 est égal à 𝐵, nous multiplions les deux côtés par l’inverse de 𝐴. Sur le côté gauche, cela nous laisse juste avec la matrice variable 𝑥. Dans notre cas, bien sûr, notre matrice variable est la matrice colonne 𝑎, 𝑐. Elle est égale à l’inverse de 𝐴 fois la matrice constante cinq, 10. Alors, comment multiplier cette paire de matrices ? Nous commençons par trouver le produit scalaire des éléments de la première ligne de notre première matrice et des éléments de notre matrice colonnes. Cela donne un fois cinq plus moins un fois 10, ce qui est égal à moins cinq.
Ensuite, nous trouvons le produit scalaire des éléments de la deuxième ligne et la colonne de notre matrice de colonnes. Cette fois, nous obtenons trois fois cinq plus cinq fois 10, ce qui équivaut à 65. Ainsi, notre matrice 𝑎, 𝑐 est égale à un huitième de la matrice avec ces éléments. Maintenant, nous pouvons distribuer le huitième à travers cette matrice et nous le faisons simplement en multipliant moins cinq par un huitième et 65 par un huitième. Nous pouvons aussi bien laisser cela sous forme fractionnaire. Lorsque nous le faisons, nous trouvons que la matrice 𝑎, 𝑐 est égale à la matrice moins cinq huitièmes, soixante-cinq huit huitièmes.
Maintenant, bien sûr, nous essayons en fait de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑐, nous allons donc l’extraire de sa forme matricielle. Si deux matrices sont égales, il s’ensuit que leurs éléments individuels doivent être égaux. Ainsi, notre élément 𝑎 est égal à l’élément moins cinq huitièmes et 𝑐 doit être égal à 65 sur huit. Nous avons donc terminé. Nous avons trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑐. Ils valent moins cinq huitièmes et soixante-cinq huitièmes, respectivement.
