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Vidéo de question : Utilisation des probabilités dans un diagramme de Venn pour calculer des probabilités conditionnelles Mathématiques

Considérez le diagramme de Venn suivant. Calculez la valeur de 𝑃(𝐵 | 𝐴).

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Transcription de vidéo

Considérez le diagramme de Venn suivant. Calculez la valeur de la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

La première chose à faire est donc de passer en revue quelques notations mathématiques. Nous avons donc 𝑃, ce qui signifie la probabilité, puis nos parenthèses, puis 𝐵 et une droite verticale, puis 𝐴. Et cela signifie la probabilité que 𝐵 se produise, sachant que 𝐴 se produit. Et c’est cette ligne verticale qui signifie sachant. Alors maintenant, ce que j’ai fait, c’est que j’ai réduit la zone que nous allons examiner. J’ai donc coloré en orange toute cette zone. Et nous pouvons ignorer cela parce que nous cherchons à trouver la probabilité que 𝐵 se produise, sachant que 𝐴 se produit. Nous savons donc que 𝐴 doit avoir eu lieu. Et 𝐴 est tout dans le cercle de gauche. Nous pouvons donc ignorer tout le reste.

Donc, pour résoudre ce problème, nous avons quelques méthodes que nous pouvons utiliser, une qui a une formule que je vais vous montrer dans un instant. Mais tout d’abord, je vais vous montrer une méthode un peu différente. Donc, tout d’abord, nous examinons notre diagramme de Venn et les valeurs qu’il contient. Nous avons donc notre zone de 𝐴. Nous avons alors trois dixièmes représentant la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Et c’est parce que c’est juste la section qui est seulement 𝐴. Donc, cela n’inclut pas l’intersection ou le chevauchement de notre diagramme de Venn. Alors que les deux dixièmes représentent la zone qui se chevauche ou l’intersection. Et c’est là que 𝐴 et 𝐵 se produisent.

Dans la question, on nous demande de calculer la valeur de la probabilité que 𝐵 se produise, sachant que 𝐴 se produit. Donc, nous allons faire attention aux deux dixièmes parce que c’est la seule section où 𝐵 se produira. Maintenant, il existe plusieurs façons d’utiliser ces informations pour résoudre le problème. La première façon consiste simplement à considérer nos numérateurs. Nous avons donc trois et deux. Et c’est parce que nos dénominateurs sont les mêmes. Nous pouvons donc simplement considérer que nous avons trois parties et deux parties. Nous pouvons donc dire que le total de nos parties est trois plus deux, ce qui équivaut à cinq. On peut donc dire que le total des parties dans 𝐴 est cinq.

Nous pouvons alors constater que la probabilité que 𝐵 se produise étant donné que 𝐴 se produit est égale à deux cinquièmes. Et c’est parce que nos deux parties représentent la zone qui contient 𝐴 et 𝐵. C’est donc là que 𝐵 s’est produit. Donc, cela représente deux parties sur cinq parties. Nous avons ainsi deux cinquièmes. Une autre façon de l’envisager est deux dixièmes sur cinq dixièmes. Et quand nous disons « sur », nous entendons par là est divisé par. Donc, c’est deux dixièmes divisé par cinq dixièmes. Alors maintenant, si nous divisons des fractions, ce que nous faisons, c’est en fait que nous multiplions les fractions et nous inversons la seconde ou trouvons son inverse. Nous avons donc deux dixièmes multiplié par 10 sur cinq.

Alors maintenant, pour multiplier nos fractions, ce que nous pourrions faire, c’est multiplier nos numérateurs puis multiplier nos dénominateurs. Donc, cela nous donnera 20 sur 50. Cependant, nous n’avons pas besoin de le faire car nous pouvons simplifier à l’avance parce que nous avons un 10 au numérateur et un 10 au dénominateur. Donc, ceux-ci vont se simplifier. Alors, il nous resterait deux sur cinq ou deux cinquièmes, ce qui est la même réponse que nous avons obtenue avec l’autre méthode. Nous savons donc que c’est correct.

Maintenant, j’ai dit que nous allons avoir quelques méthodes. Donc, celle-là est une méthode, mais nous avons suivi deux façons de faire le calcul. Mais je vais aussi vous montrer une formule que nous aurions pu utiliser pour nous amener à la bonne réponse. Et cette formule est la probabilité que 𝐵 se produise étant donné que 𝐴 se produit est égale à la probabilité que 𝐵 et 𝐴 se produisent divisée par la probabilité de 𝐴. Et si nous avions utilisé cette formule, cela nous aurait conduit à l’étape que j’ai montrée ici, qui est deux dixièmes divisé par cinq dixièmes. Et c’est parce que deux dixièmes est la probabilité que 𝐵 et 𝐴 se produisent. Et cinq dixièmes est la probabilité que 𝐴 se produise. Donc, ça va nous amener directement à cette étape, que nous aurions pu résoudre pour nous donner nos deux cinquièmes.

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