Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.

Vidéo : Radians dans le cercle unitaire

Anne-Claire Dupuis

Apprenez dans cette vidéo comment est défini le radian, une unité de mesure d’angle. Nous introduisons le cercle unitaire, un outil essentiel en trigonométrie, qui nous permet de faire le lien entre la mesure d’un angle en radians et la longueur de l’arc du cercle unitaire que cet angle intercepte.

12:34

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment est défini le radian, une unité de mesure d’angle. Et pour cela, nous allons introduire le cercle unitaire.

Nous allons donc ici nous intéresser aux mesures d’angles, mais d’abord, qu’est-ce qu’un angle ?

Un angle est formé par deux demi-droites ou deux segments qui ont une extrémité commune. L’angle peut être vu comme l’espace entre les deux segments, et en effet, ils peuvent être plus ou moins écartés l’un de l’autre, et donc l’angle entre les deux segments est plus ou moins grand. On peut aussi voir la mesure de l’angle comme une fraction de tour entre les deux segments ou les deux demi-droites. Si je commence avec les deux segments l’un sur l’autre, comme ça, l’angle est zéro. Et je peux commencer à bouger l’un des deux segments, et donc là ici, on voit on a un petit angle. Voilà, je continue à tourner mon deuxième segment jusqu’à ici, un quart de tour, c’est-à-dire un angle droit. Ici, après un demi-tour, nous avons l’angle plat. Trois quarts de tour. Et enfin, un tour complet, où les deux côtés de l’angle sont de nouveau l’un sur l’autre.

Vous savez déjà sûrement que un tour complet correspond à 360 degrés. Un degré est donc une mesure d’angle définie comme un trois cent soixantième de tour complet, et toute fraction de tour va correspondre à cette même fraction de 360. Ainsi, un demi-tour correspond à 180 degrés, et un quart de tour à 90 degrés.

Voyons maintenant comment est défini le radian. Pour définir le radian, nous uti- nous allons utiliser le cercle unitaire. Le cercle unitaire est un cercle de rayon un, dont le centre est à l’origine du repère orthonormé. Il s’appelle donc unitaire parce que la longueur de son rayon est une unité de longueur.

Imaginons maintenant que je veuille enrouler une corde autour de mon cercle. Je place d’abord la corde comme ceci en la fixant au point un, zéro, c’est-à-dire ce point ici, et ensuite je vais la graduer. Je commence par mettre mon zéro ici, là où la corde est fixée, le va être par là, et le deux à peu près ici. Donc en fait la corde est comme une droite graduée. Voilà donc j’ai commencé à enrouler ma corde autour du cercle, et la question est maintenant : à quel point de la corde vais-je retrouver le point de départ, le point zéro ? Nous savons que la circonférence d’un cercle est 𝜋 fois son diamètre, c’est-à-dire deux fois 𝜋 fois son rayon, donc deux 𝜋 𝑟. Mais dans le cercle unitaire, nous savons que 𝑟 égale un, donc nous voyons que dans le cercle unitaire, la circonférence est deux 𝜋, dans notre système d’unités de longueurs. Je peux donc finir d’enrouler ma corde et je sais qu’au point zéro, j’ai aussi le point deux 𝜋. Nous avons donc maintenant un tour de cercle unitaire gradué, et cette graduation va justement être utilisée pour exprimer un angle en radian. Donc voyons comment.

D’abord, je place le segment ou la demi-droite qui forme mon angle. Le premier côté, je le place comme ceci, sur l’axe des 𝑥, du côté positif. Un angle d’un radian correspond alors à cet angle-ci, où le deuxième côté de l’angle coupe le cercle unitaire au point de graduation un, ce qui veut dire que la longueur de l’arc du cercle entre les deux côtés de l’angle est un. La mesure d’un angle en radians est donc définie comme la longueur de l’arc du cercle unitaire compris entre les deux côtés de l’angle. Donc un angle de deux radians est celui-ci, et ainsi de suite donc pour n’importe quelle mesure de l’angle en radians, on aura toujours la longueur de l’arc sur le cercle unitaire entre les deux côtés de l’angle, qui est égale à la mesure de l’angle en radians.

Donc l’angle correspondant à un tour complet est donnée par la circonférence du cercle unitaire, soit donc deux 𝜋 radians, et un demi-tour, qui va donc être cet angle-ci, va correspondre à 𝜋 radians, et un quart de tour va correspondre à 𝜋 sur deux radians, et trois quarts de tour, à trois 𝜋 sur deux radians. Voilà je peux faire de même maintenant avec les huitièmes de tour et les sixièmes de tour, ce qui me donne ceci.

Donc nous avons vu que les degrés et les radians sont définis de manière différente, puisqu’un degré est une fraction de tour, en effet un degré est un trois cent soixantième de tour, alors qu’un radian n’est pas une fraction de tour, puisque 𝜋 est un nombre irrationnel. Cela dit, nous voyons ici que les degrés et les radians sont proportionnels, puisque pour chaque fraction de tour nous avons donc, soit une fraction de 360 degrés, ou bien une fraction de deux 𝜋 radians. Et c’est exactement ce que nous allons utiliser pour convertir entre degrés et radians.

Voyons cela avec quelques exemples.

Convertir 45 degrés en radians. D’abord entraînons-nous à placer cet angle dans le cercle unitaire. Donc 45 degrés c’est la moitié de 90 degrés, donc c’est la moitié d’un quart de tour, donc c’est un huitième de tour. Je peux aussi m’aider d’un tableau de proportionnalité où j’utilise le fait donc que un quart de tour, donc 90 degrés, c’est 𝜋 sur deux radians. 45 degrés est la moitié de 90 degrés, donc ça va être 𝜋 sur quatre radians, c’est-à-dire la moitié de 𝜋 sur deux radians.

Convertir 120 degrés en radians. Plaçons donc cet angle dans le cercle unitaire. 120 degrés est un tiers de 360 degrés, donc un tiers d’un tour complet, donc je vais être à peu près ici.

Je peux de nouveau m’aider d’un tableau de proportionnalité, où je place donc 360 degrés équivaut à deux 𝜋 radians, et 120 degrés est un tiers de 360 degrés. Donc en radians, je vais avoir un tiers de deux 𝜋 radians, c’est-à-dire deux 𝜋 sur trois radians.

Donc ici rappelez-vous bien que c’est le tour complet qui est deux 𝜋 radians, et 𝜋 est seulement le demi-tour. Donc ici un tiers de tour complet, nous voyons bien que c’est deux 𝜋, c’est-à-dire le tour complet divisé par trois, en radians ; deux 𝜋 sur trois radians.

Convertir 𝜋 sur cinq radians en degrés. Cherchons d’abord à le placer sur le cercle unitaire. Donc 𝜋 sur cinq, ça va être un cinquième de demi-tour, puisque 𝜋 radian est un demi-tour, ce qui donne à peu près ça ; donc un cinquième de demi-tour. Donc en degrés, je vais donc faire 180 divisé par cinq, ce qui me donne 36 degrés. Donc ici on voit bien quand nous avons fait un cinquième de un demi-tour, donc c’est normal qu’on retrouve bien un dixième de tour ; 36 est en effet bien un dixième de 360 degrés. Donc 𝜋 sur cinq radians égale 36 degrés. Donc 𝜋 sur cinq radians est un cinquième de demi-tour, soit un dixième de tour.

Convertir trois 𝜋 sur quatre radians en degrés. Donc pour placer cet angle de trois 𝜋 sur quatre radians, je vois que je dois diviser mon 𝜋, donc mon demi-tour en quatre, et en prendre trois parts, donc ce qui me donne cet angle-ci.

Donc maintenant je dois trouver la mesure en degrés de trois quarts de demi-tour, c’est-à-dire trois quarts de 180 degrés, ce qui me donne 135 degrés.

Convertir 129 degrés en radians. Ici 129 degrés n’est pas une fraction évidente de 360 degrés, donc nous ne savons pas quelle est la fraction exacte de tour complet. Par contre, nous savons que c’est entre 90 et 180 degrés, et donc avec le premier côté de mon angle ici, je sais que le deuxième côté de mon angle va être à peu près dans cette région-là.

Donc je vais m’aider d’un tableau proportionnalité en écrivant donc 180 degrés c’est 𝜋 radians, donc le demi-tour est 129 degrés. Donc je vais chercher quelle est la fraction 129 par rapport à un demi-tour. Donc c’est donc 129 cent quatre-vingtième de tour, et donc pour trouver cette mesure en radians, je vais multiplier 𝜋 radians par 129 divisé par 180.

Je remarque ici que ma fraction peut se simplifier par trois, puisque 129 et 180 sont des multiples de trois, et donc j’obtiens comme fraction de demi-tour 43 sur 60. Et donc, 129 degrés est égal à 43 𝜋 sur 60 radians.

Convertir 4,25 radians en degrés. Arrondir au degré près. Donc ici pour placer cet angle sur le cercle unitaire, comme nous n’avons pas une fraction claire de deux 𝜋 radians, c’est-à-dire du tour complet, il va être difficile de le placer avec exactitude. Toutefois nous savons que un demi-tour correspond à 𝜋 radians, soit 3,14 radians à peu près, et donc trois quarts de tour, à peu près 4,7 radians, donc mon 4,5 ; 20 [4,25] radians devrait se trouver quelque part par là. Donc nous pouvons utiliser un tableau de proportionnalité avec ici, par exemple, 𝜋 radians. Donc le demi-tour correspond à 180 degrés, et donc je vais chercher 4,25 radians, l’équivalence en degrés, en multipliant 180 degrés par 4,25 divisé par 𝜋, ce qui, au degré près, me donne 244 degrés. Donc ici puisque la mesure de l’angle en radians n’était pas donnée en fonction de 𝜋, nous ne pouvons pas avoir une fraction définie de tour complet, et donc de 360 degrés. Donc nous avons forcément une valeur approchée, et ici nous avons choisi d’arrondir au degré près.

Donc en résumé, nous avons appris que la mesure d’un angle en radians est donnée par la longueur de l’arc du cercle unitaire compris entre les deux côtés de l’angle. Cela veut dire qu’un tour complet va correspondre à une mesure de deux 𝜋 radians, et donc toute fraction de tour va être exprimée en fonction de 𝜋, comme donné sur le schéma ici.

Les degrés et les radians sont donc des unités proportionnelles, et c’est ce que nous utilisons pour convertir entre les deux.

La mesure d’un angle 𝑟 en radians peut donc être convertie en degrés en multipliant 180 par 𝑟 et en divisant par 𝜋. De même, 𝐷 en degrés va être convertie en radians en multipliant 𝐷 par 𝜋, et en divisant par 180.