Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la probabilité d’un événement simple. Nous allons commencer par définir la probabilité. Puis nous verrons comment passer de l’utilisation de mots comme « probable » ou « certain » pour décrire la probabilité d’un événement à l’utilisation d’un nombre pour décrire sa probabilité.
La probabilité est la possibilité ou la chance qu’un événement se produise. On voit souvent les probabilités présentées sur une échelle. Et on utilise des mots comme « impossible » et « certain » pour décrire ces probabilités. Le nombre que l’on utilise pour représenter un événement impossible est zéro. Et pour un événement certain, c’est le nombre un. Les événements qui sont aussi probables que non probables peuvent être décrits en nombres par la fraction un demi, le nombre décimal 0,5, le pourcentage 50 pour cent. On peut décrire toute probabilité en utilisant une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage.
Afin de déterminer la probabilité qu’un événement se produise, on calcule le nombre de résultats favorables et on le divise par le nombre total de résultats. Prenons l’exemple du lancer d’un dé qui comporte les nombres de un à six. Disons que l’on souhaite calculer la probabilité d’obtenir un deux. On peut écrire ceci comme 𝑃 de deux. Le nombre de résultats favorables est le nombre de deux sur le dé et le nombre total de résultats est six, puisqu’il y a six valeurs différentes sur le dé. Et donc la probabilité d’obtenir un deux sur ce dé est d’un sixième.
On peut également définir la probabilité d’un événement de façon un peu plus formelle. Si 𝐴 est un événement dans un espace échantillon 𝑆, alors la probabilité que l’événement 𝐴 se produise est 𝑃 de 𝐴 égal 𝑛 de 𝐴 sur 𝑛 de 𝑆, où 𝑛 de 𝐴 représente le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴 et 𝑛 de 𝑆 représente le nombre d’éléments dans l’espace échantillon 𝑆. Cela peut sembler beaucoup plus compliqué, mais revenons à l’exemple du lancer du dé. Lorsque l’on considère la probabilité d’obtenir un deux, la valeur au numérateur est le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴. Donc, dans le cas du dé, c’est le nombre de valeurs qui correspondent au nombre deux. Ensuite, au dénominateur, c’est le nombre d’éléments qu’il y a sur le dé au total. Et cela fait six, car il y a six nombres différents. Et donc, la probabilité d’obtenir un deux est un sixième.
Avant de traiter quelques exemples, il y a une chose très importante à se rappeler concernant les probabilités. Et nous l’avons déjà vu lorsque nous avons examiné la droite graduée. La probabilité d’un événement doit être comprise entre zéro et un. Pour un événement 𝐴, on peut dire que zéro est inférieur ou égal à la probabilité de 𝐴 qui est inférieur ou égal à un. En d’autres termes, la probabilité d’un événement doit être comprise entre zéro et un, bien qu’elle puisse bien sûr être exactement égale à zéro ou exactement égale à un. Voyons maintenant quelques exemples. Et dans le premier exemple, nous trouverons la probabilité d’un événement où il y a trois issues possibles.
Un sac contient sept billes blanches, huit billes noires et sept billes rouges. Si une bille est choisie au hasard dans le sac, quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ?
Rappelons que pour trouver la probabilité qu’un événement se produise, on prend le nombre de résultats favorables et on le divise par le nombre total de résultats possibles. Ici, on nous demande de calculer la probabilité d’obtenir une bille blanche. Et on peut écrire ceci comme 𝑃 de B pour blanc. On doit ensuite déterminer le nombre de billes blanches. L’énoncé nous dit qu’il y en a sept. Donc, ce sera la valeur au numérateur. La valeur du dénominateur est le nombre total de billes. On nous dit donc qu’il y a sept blanches, huit noires et sept rouges. On ajoute donc ces valeurs. Cela nous donne la fraction sept sur 22. On ne peut pas simplifier davantage cette fraction. La probabilité d’obtenir une bille blanche est donc de sept sur 22.
Nous allons maintenant voir un autre exemple de calcul de la probabilité d’un événement.
Quelle est la probabilité de sélectionner au hasard un nombre premier parmi les nombres huit, neuf, 20, 19, trois et 15 ?
Pour répondre à cette question, on doit rappeler deux choses. D’abord, comment trouver la probabilité d’un événement, et, ensuite, ce qu’est un nombre premier. Pour calculer la probabilité, on peut utiliser la formule pour calculer la probabilité d’un événement 𝐴 comme le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴 divisé par le nombre d’éléments dans un espace échantillon 𝑆. On peut également voir cette formule écrite comme la probabilité d’un événement est égale au nombre de résultats favorables sur le nombre total de résultats. Ici, on cherche à calculer la probabilité de sélectionner un nombre premier. Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux facteurs, un et lui-même.
Alors considérons la liste des nombres qui nous ont été donnés. Les trois premières valeurs huit, neuf et 20 ne sont pas des nombres premiers parce qu’elles ont plus de deux facteurs. Ensuite, 19 et trois sont tous deux des nombres premiers. Cependant, 15 n’est pas un nombre premier. Quand il s’agit d’utiliser la formule, le nombre de nombres premiers que nous avons est deux. Cela correspond à trois et 19. La valeur du dénominateur est de six, puisqu’il y a six nombres au total. Il est toujours bien de simplifier nos fractions lorsqu’on le peut. Et donc on peut donner la réponse que la probabilité de sélectionner un nombre premier dans la liste donnée de nombres est d’un tiers.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver le nombre d’éléments dans l’espace échantillon, étant donné le nombre d’éléments d’un événement et la probabilité d’un événement différent.
Un sac contient 24 balles blanches et un nombre inconnu de balles rouges. La probabilité de choisir au hasard une balle rouge est de sept sur 31. Combien de balles y a-t-il dans le sac ?
Parce que nous calculons une probabilité, on peut rappeler que pour trouver la probabilité d’un événement 𝐴, on calcule 𝑛 de 𝐴 divisé par 𝑛 de 𝑆, où 𝑛 de 𝐴 est le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴 et 𝑛 de 𝑆 est le nombre d’éléments dans l’espace échantillon 𝑆. Voyons de plus près cette question. On nous dit qu’il y a 24 balles blanches dans le sac, mais un nombre inconnu de balles rouges. On peut alors utiliser le même style de notation pour indiquer que le nombre de balles blanches est 24. On ne nous dit pas le nombre de balles rouges, mais on peut utiliser une variable telle que 𝑥 pour le représenter. Le nombre total de balles dans le sac peut être écrit comme le nombre de balles blanches, soit 24, plus le nombre de balles rouges, que nous avons défini comme 𝑥. Le nombre total de balles dans le sac est le nombre d’éléments dans l’espace échantillon. On peut donc dire que 𝑛 de 𝑆 est égal à 24 plus 𝑥.
Ensuite, on peut regarder les probabilités. On nous dit que la probabilité de choisir une balle rouge est de sept sur 31. On peut maintenant écrire la formule de probabilité appliquée à la probabilité de trouver une balle rouge. Ensuite, nous verrons si nous avons suffisamment d’informations pour trouver la valeur de 𝑥. Pour calculer la probabilité d’obtenir une balle rouge, eh bien, le nombre d’éléments dans tout événement 𝐴 pour une balle rouge correspond au nombre de balles rouges dans le sac. Le dénominateur, qui est le nombre d’éléments dans l’espace échantillon 𝑆 dans ce contexte, est simplement le nombre total de balles dans le sac. On peut alors insérer les valeurs que nous avons pour ces expressions. Donc, on a sept sur 31 égal 𝑥 sur 24 plus 𝑥.
Maintenant, on peut prendre le produit en croix et trouver 𝑥. Développer ensuite par rapport à sept, ce qui donne 168 plus sept 𝑥 égal 31𝑥. Ensuite, on soustrait sept 𝑥 des deux côtés. Enfin, en divisant les deux côtés par 24, on constate que sept est égal à 𝑥, et donc 𝑥 est égal à sept. Rappelez-vous que l’on a défini 𝑥 comme étant le nombre de balles rouges, et on a donc déterminé que le nombre de balles rouges est égal à sept. Il peut être très tentant de s’arrêter là. Mais rappelez-vous, on nous demande combien de balles il y a au total dans le sac. On a déjà trouvé une expression pour le nombre de balles dans le sac. C’est celle donnée par ce nombre d’éléments dans l’espace échantillon. Le nombre total de balles est donc de 24 plus 𝑥, soit sept. Et lorsqu’on les additionne, on obtient la valeur de 31. Par conséquent, on peut donner la réponse qu’il y a 31 balles dans le sac.
Dans le dernier exemple, nous verrons comment trouver le nombre total d’éléments dans un espace d’échantillonnage étant donné les probabilités de deux événements et le nombre d’éléments d’un troisième événement.
Un sac contient un nombre inconnu de billes. Il y a trois billes rouges, des billes blanches et des billes noires. La probabilité d’obtenir une bille blanche est d’un tiers et la probabilité d’obtenir une bille noire est de un demi. Calculer le nombre de billes dans le sac.
Parce qu’on a ici une question de probabilité, on peut rappeler que pour trouver la probabilité d’un événement 𝐴, on calcule le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴 qu’on peut écrire comme 𝑛 de 𝐴 et on divise par le nombre d’éléments dans l’espace échantillon 𝑆 qu’on peut écrire comme 𝑛 de 𝑆. Si on regarde la question, on nous dit qu’il y a trois couleurs différentes de billes dans le sac : rouge, blanc et noir. Donc, notons quelques informations données par l’énoncé. On peut utiliser la même notation pour le nombre de billes rouges, 𝑛 de 𝑅, qui est égal à trois.
On ne nous donne pas le nombre de billes blanches ou noires, mais définissons le nombre de billes blanches comme 𝑏 et le nombre de billes noires comme n. Ces trois valeurs ou expressions pour ces valeurs nous permettent d’écrire le nombre total de billes dans le sac, qui est aussi le nombre d’éléments dans l’espace échantillon. Cela fait trois plus 𝑏 plus n. Ensuite, regardons les probabilités. On nous dit que la probabilité d’obtenir une bille blanche est d’un tiers et que la probabilité d’obtenir une bille noire est de un demi.
Maintenant, si l’on regarde les informations que nous avons notées, on peut voir que l’on a deux quantités inconnues, 𝑏 et n, qui sont le nombre de billes blanches et le nombre de billes noires. Ce que nous allons essayer de faire, c’est d’obtenir suffisamment d’informations pour définir deux équations à résoudre pour trouver ces deux inconnues. On peut écrire la formule de probabilité générale appliquée à la probabilité de trouver une bille blanche. Dans ce cas, c’est égal au nombre de billes blanches sur le nombre total de billes.
Comme on nous dit que la probabilité d’obtenir une bille blanche est d’un tiers, on a cela à gauche, puis à droite, le nombre de billes blanches est égal à 𝑏. Et le nombre total de billes est égal à trois plus 𝑏 plus n. En prenant le produit en croix, on a trois plus 𝑏 plus n égal trois 𝑏. On peut alors soustraire le 𝑏 des deux côtés ce qui donne trois plus n égal deux 𝑏. On ne peut rien faire de plus avec cette équation pour le moment, mais nommons-la équation un. Et nous allons le passer sur le côté pour libérer de l’espace. Espérons qu’on peut obtenir une deuxième équation en fonction de 𝑏 et n, qu’on peut ensuite résoudre simultanément pour trouver n et 𝑏.
Ce que l’on peut ensuite faire, c’est écrire la formule de probabilité appliquée à la probabilité d’obtenir une bille noire. Cette fois, nous allons calculer le nombre de billes noires sur le nombre total de billes. Et donc, sur le côté gauche, on a un demi puisque c’est la probabilité d’obtenir une bille noire. Et sur le côté droit, on a n divisé par trois plus 𝑏 plus n. On peut prendre le produit en croix ce qui donne trois plus 𝑏 plus n égal deux n. Soustraire n des deux côtés donne trois plus 𝑏 égal n. Et on a donc trouvé une deuxième équation en fonction de 𝑏 et n.
Si on regarde ces deux équations, il existe un certain nombre de façons différentes de les résoudre. Mais si on regarde la deuxième équation, on a une expression pour n. On peut substituer cela dans l’équation un à la place de n. Cela nous donne trois plus trois plus 𝑏 égal deux 𝑏. On peut alors simplifier cela et soustraire 𝑏 des deux côtés, ce qui nous donne six égal 𝑏. Cela signifie que le nombre de billes blanches est six.
Pour trouver n, le nombre de billes noires, on peut substituer 𝑏 égal six dans l’une ou l’autre des équations, mais substituons cela dans l’équation deux. Ce qui nous donne trois plus six égal n. Et donc neuf égal n, donc n est égal à neuf. Le nombre de billes noires est de neuf. Pour trouver le nombre total de billes dans le sac, nous avons déjà une expression. C’est trois plus 𝑏 plus n. Ainsi, lorsqu’on substitue les valeurs 𝑏 égal six et n égal neuf, on a trois plus six plus neuf. En simplifiant cela, on a la réponse que le nombre de billes dans le sac doit être de 18.
Et, bien sûr, il est toujours utile de vérifier nos réponses. On nous a dit qu’il y avait trois billes rouges. Nous avons déterminé qu’il devait y avoir six billes blanches et neuf billes noires. Et ceux-ci totalisent en effet 18. En termes de probabilités, on nous a dit que la probabilité des blancs est d’un tiers et que la probabilité des noirs est de un demi. On peut calculer que la probabilité d’obtenir une bille rouge est de trois sur 18, ce qui se simplifie comme un sixième. Lorsque l’on additionne les trois probabilités d’un sixième, d’un tiers et d’un demi, on obtient un total de un. Puisque la somme des probabilités doit être égale à un, cela confirme que les valeurs que nous avons calculées pour obtenir un nombre total de billes égal à 18 doivent être correctes.
On peut maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu qu’il existe deux formules que l’on peut utiliser pour calculer la probabilité d’un événement. La deuxième formule est particulièrement utile lorsque nous traitons des probabilités d’un certain nombre d’événements, comme nous l’avons vu dans une question comme la précédente. Et enfin, nous avons vu que toutes les probabilités doivent se situer dans l’intervalle zéro, un. Une probabilité plus proche de zéro indique un événement moins probable, et une probabilité plus proche de un indique un événement plus probable.
