Vidéo question :: Utilisation des propriétés des quadrilatères inscriptibes pour trouver les valeurs d’inconnues Mathématiques

Transcription de la vidéo

Sachant que la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 𝑦 degrés, que la mesure de l’angle 𝐵 est égale à quatre 𝑥 moins trois degrés, et que la mesure de l’angle 𝐶 est égale à cinq 𝑥 degrés, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Commençons par ajouter les informations données dans la question sur la figure. D’abord, nous savons que la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 𝑦 degrés, puis, que la mesure de l’angle 𝐵 est égale à quatre 𝑥 moins trois degrés et, enfin, que la mesure de l’angle 𝐶 est de cinq 𝑥 degrés.

Nous pouvons voir alors que nous avons obtenus des expressions ou des valeurs pour les quatre angles dans ce quadrilatère. Nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Maintenant, nous avons en fait un type spécial de quadrilatère car ses quatre sommets se situent tous sur la circonférence d’un cercle. Nous avons ce qu’on appelle un quadrilatère inscriptible.

Il y a aussi une propriété clé sur les angles dans un quadrilatère cyclique, dont nous devons nous rappeler. En effet, les angles opposés dans une quadrilatère cyclique font 180 degrés. Cela signifie donc que la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 est égale à 180 degrés et que la mesure de l’angle 𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐶 est égale à 180 degrés.

Nous pouvons utiliser cette information pour former deux équations impliquant 𝑥 et 𝑦. Premièrement, pour les angles 𝐵 et 𝐷, nous avons que quatre 𝑥 moins trois plus 115 est égal à 180 car la mesure de l’angle 𝐵 est de quatre 𝑥 moins trois degrés et que la mesure de l’angle 𝐷 est de 115 degrés. Cela donne une équation uniquement en fonction de 𝑥, que nous pouvons résoudre directement.

Tout d’abord, nous pouvons simplifier légèrement le côté gauche. Nous avons moins trois plus 115, ce qui simplifie en plus 112. Ensuite, nous pouvons soustraire 112 de chaque côté de l’équation, ce qui donne quatre 𝑥 est égal à 68. La dernière étape consiste à diviser les deux côtés de l’équation par quatre, ce qui donne 𝑥 est égal à 17.

Notez que 𝑥 est juste une valeur ; ce n’est pas une valeur avec un symbole de degré car si nous regardons l’angle 𝐶, nous pouvons voir que sa mesure est de cinq 𝑥 degrés. Ainsi, le symbole du degré est déjà inclus. Par conséquent, 𝑥 est juste 17, pas 17 degrés.

Maintenant, nous pouvons revenir à notre deuxième affirmation : la mesure de l’angle 𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐶 est égale à 180 degrés. En substituant 𝑦 à la mesure de l’angle 𝐴 et cinq 𝑥 à la mesure de l’angle 𝐶, nous avons 𝑦 plus cinq 𝑥 égale 180.

Nous avons déjà déterminé que la valeur de 𝑥 est 17. Nous pouvons donc substituer cela dans notre équation. Cinq multiplié par 17 est 85. Nous avons donc 𝑦 plus 85 égale 180. Nous pouvons trouver 𝑦 en une seule étape. Nous soustrayons 85 de chaque côté de l’équation, donnant 𝑦 est égal à 95. Encore une fois, il n’y a pas de symboles de degré avec cette valeur.

Nous avons donc trouvé les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Ils valent respectivement 17 et 95.

Il est toujours bon de vérifier nos réponses lorsque cela est possible. Ainsi, dans cette question, nous allons revenir au diagramme d’origine et calculer les mesures de tous les angles : 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Puisque ce sont les quatre angles internes dans un quadrilatère, leur somme devrait être de 360 degrés.

L’angle 𝐴, qui n’était que de 𝑦 degrés, sera maintenant égal à 95 degrés, l’angle 𝐶, dont la mesure était de cinq 𝑥 degrés, sera maintenant égal à cinq multiplié par 17, soit 85 degrés. La mesure de l’angle 𝐵 est de quatre 𝑥 moins trois degrés. Ainsi, quatre multiplié par 17 est 68, puis soustraire trois donne 65.

Nous pouvons alors effectuer une vérification rapide. 95 plus 65 plus 85 plus 115 est en effet égal à 360. Ainsi, cela confirme que nos valeurs de 17 et 95 pour 𝑥 et 𝑦, respectivement, sont correctes.