Transcription de la vidéo
Etant donnés la matrice 𝐴 égale à moins quatre, deux, deux, moins quatre et la matrice 𝐵 égale à moins trois, moins trois, moins un, un, calculez 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴.
Començons par trouver 𝐴𝐵. Qu’est-ce que 𝐴𝐵? Bien, il s’agit du produit des deux matrices 𝐴 et 𝐵 dans cet ordre. La première étape consiste donc simplement à substituer les valeurs de 𝐴 et 𝐵 données dans la question. 𝐴 est moins quatre, deux, deux, moins quatre et 𝐵 est moins trois, moins trois, moins un, un.
Qu’est-ce que nous obtenons en multipliant ces deux matrices ? Bien, premièrement nous obtenons une autre matrice et même une autre matrice deux deux, alors maintenant nous devons simplement remplir les coefficients de cette matrice.
Nous allons commencer par la première entrée de la matrice, qui est l’entrée de la première ligne et de la première colonne de la matrice. Nous sommes dans la première rangée, donc nous regardons la première rangée de la matrice à gauche, 𝐴. Il s’agit de la ligne moins quatre, deux, et cette entrée que nous voulons trouver se trouve dans la première colonne de 𝐴𝐵, donc nous regardons la première colonne de la matrice de droite, 𝐵.
L’entrée de 𝐴𝐵 que nous recherchons est le produit scalaire de la ligne en surbrillance avec la colonne en surbrillance, nous avons donc moins quatre fois moins trois plus deux fois moins un. Voilà donc la première entrée de la première rangée de 𝐴𝐵.
Passons maintenant à la deuxième entrée de la première ligne. Cette entrée se trouve dans la première ligne et la deuxième colonne de la matrice 𝐴𝐵. Il s’agit donc du produit scalaire de la première ligne de 𝐴 avec la deuxième colonne de 𝐵. Ainsi, nous avons moins quatre fois moins trois plus deux fois un.
Quelle est l’entrée dans la deuxième ligne et la première colonne de 𝐴𝐵 ? Il s’agit du produit scalaire de la deuxième ligne de 𝐴 avec la première colonne de 𝐵, deux fois moins trois plus moins quatre fois moins un. Enfin, l’entrée dans la deuxième ligne et la deuxième colonne de 𝐴𝐵 est le produit scalaire de la deuxième ligne de 𝐴 avec la deuxième colonne de 𝐵.
Maintenant, il ne reste plus qu’à évaluer ces expressions. Moins quatre fois moins trois plus deux fois moins un donne 10. Moins quatre fois moins trois plus deux fois un est égal à 14. Deux fois moins trois plus moins quatre fois moins un donne moins deux. Et enfin, deux fois moins trois plus moins quatre fois un vaut moins 10.
Maintenant, nous avons trouvé 𝐴𝐵. Il suffit de trouver 𝐵𝐴. La seule différence ici est que la matrice 𝐵 est écrite avant 𝐴, donc nous avons moins trois, moins trois, moins un, un fois moins quatre, deux, deux, moins quatre.
L’entrée dans la première ligne et la première colonne de 𝐵𝐴 est le produit scalaire de la première ligne de 𝐵 avec la première colonne de 𝐴. L’entrée dans la première ligne et la deuxième colonne de 𝐵𝐴 est le produit scalaire de la première ligne de 𝐵 avec la deuxième colonne de 𝐴. L’entrée dans la deuxième ligne et la première colonne de 𝐵𝐴 est le produit scalaire de la deuxième ligne de 𝐵 avec la première colonne de 𝐴. Enfin, l’entrée dans la deuxième ligne et la deuxième colonne de 𝐵𝐴 est le produit scalaire de la deuxième ligne de 𝐵 avec la deuxième colonne de 𝐴.
En évaluant toutes ces entrées, nous obtenons six, six, six et moins six, donc, notre réponse finale est que 𝐴𝐵 est la matrice 10, 14, moins deux, moins 10 et que 𝐵𝐴 est la matrice six, six, six, moins six.
Notez que les valeurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 sont différentes. Cela montre que, contrairement à la multiplication de nombres naturels ou de nombres réels ou même de nombres complexes, la multiplication matricielle n’est pas commutative. La propriété commutative ne tient pas. Cela ne veut pas dire qu’il ne peut y avoir deux matrices 𝐴 et 𝐵 telles que 𝐴𝐵 égale 𝐵𝐴 ; cela dit simplement que, en général, nous ne pouvons pas compter là-dessus.
