Vidéo question :: Déterminer si une suite donnée est arithmétique ou géométrique Mathématiques

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La suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ? 11, 33, 99, 297, etc.

Rappelons tout d'abord ce que nous entendons par suites arithmétiques ou géométriques. Une suite est arithmétique s'il existe une différence fixe entre les termes. Cela signifie que nous ajoutons ou soustrayons toujours la même quantité pour passer d'un terme au suivant. Par exemple, la suite 10, sept, quatre, un, moins deux est un exemple de suite arithmétique, car pour passer d'un terme au suivant, nous soustrayons toujours trois. Dans ce cas, nous dirions que la raison de la suite, désignée par la lettre 𝑑, est de moins trois, puisque nous soustrayons trois pour passer d'un terme à l'autre.

En revanche, une suite est géométrique s'il existe un facteur multiplicatif commun entre les termes. Cela signifie que nous multiplions toujours par la même quantité pour passer d'un terme au suivant. Par exemple, la suite cinq, 10, 20, 40, 80, etc est un exemple de suite géométrique, puisque pour passer d'un terme à l'autre, nous multiplions toujours par la même quantité, soit deux. Nous dirons cette fois que la raison de la suite, désignée par la lettre 𝑟, est de deux. La raison peut également être une fraction, ce qui revient à toujours diviser par la même quantité. Elle peut aussi être négative.

Examinons maintenant la suite donnée. D'abord, examinons si elle est arithmétique. Pour cela, examinons les différences entre chaque paire de termes. Nous pouvons nommer les termes comme suit : 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, et ainsi de suite.. Pour trouver la première différence, 𝑎 deux moins 𝑎 un - soit le deuxième terme moins le premier – nous avons 33 moins 11, ce qui donne 22. En calculant la différence entre la paire suivante de termes successifs, 𝑎 trois moins 𝑎 deux, nous obtenons 99 moins 33, soit 66.

Nous voyons déjà que ces différences ne sont pas constantes et donc que la suite n'est pas arithmétique. Seulement, vérifions simplement la dernière paire de termes pour le confirmer. 𝑎 quatre moins 𝑎 trois est 297 moins 99, ce qui donne 198. Ainsi, comme nous l'avons déjà vu, la différence entre chaque paire de termes successifs n'est pas constante. La suite n'est donc pas arithmétique.

Examinons maintenant si la suite est géométrique. Le fait qu'elle ne soit pas arithmétique ne signifie pas automatiquement qu'elle sera géométrique. En effet, il existe de nombreux autres types de suites qui ne sont ni arithmétiques ni géométriques. Pour déterminer le rapport entre chaque paire de termes successifs, nous divisons chaque terme par le précédent. Ainsi, nous commençons par 𝑎 deux divisé par 𝑎 un ; cela donne 33 divisé par 11, soit trois. Ensuite, la paire de termes suivante 𝑎 trois divisé par 𝑎 deux, soit 99 divisé par 33, ce qui fait aussi trois. La suite semble donc être géométrique, mais il faut vérifier la dernière paire de termes. 𝑎 quatre divisé par 𝑎 trois, soit 297 divisé par 99, est aussi égal à trois.

Nous constatons que cette suite a bien un facteur multiplicatif commun. Nous pouvons donc répondre que la suite 11, 33, 99, 297, etc est une suite géométrique.