Transcription de la vidéo
Ganymède est la plus grande lune du système solaire, avec une masse de 1,48 fois 10 à la puissance 23 kilogrammes et un rayon de 2 630 kilomètres. Quelle est la gravité sur la surface de Ganymède ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Dans cette question, on examine Ganymède, le plus grand satellite de Jupiter et, en fait, le plus grand satellite du système solaire. On nous demande de déterminer la gravité à sa surface. Et la gravité à sa surface est l’accélération qu’un objet subira en raison de la force gravitationnelle sur l’objet lorsqu’il se trouve à la surface du satellite. Dans ce cas, le satellite dont on parle c’est Ganymède et un objet quelconque. Par exemple, il peut s’agir d’un astronaute.
Pour déterminer l’accélération que notre astronaute subit, On va d’abord déterminer la force gravitationnelle qui agit entre l’astronaute et Ganymède, que l’on va appeler 𝐹. On peut le faire en utilisant la loi de gravitation de Newton. La loi de gravitation de Newton nous dit que la force qui agit entre deux objets massifs, dans notre cas Ganymède et l’astronaute, est égale à 𝐺 majuscule, la constante gravitationnelle universel, multipliée par le produit des deux masses, divisé par la distance au carré entre les centres de masse des objets.
En appliquant cela à notre problème, l’on appelle la masse de Ganymède 𝑀 majuscule, la masse de notre astronaute 𝑚 minuscule, et on sait que la distance moyenne entre le centre de masse de Ganymède et le centre de masse de l’astronaute, c’est le rayon de Ganymède que nous appellerons 𝑟. Et c’est parce que l’astronaute est à la surface de Ganymède.
Une fois que l’on a une expression pour la force qui agit entre Ganymède et l’astronaute, l’on peut utiliser la deuxième loi de Newton pour relier cette force à l’accélération que l’astronaute subit. La deuxième loi de Newton nous dit que la force agissante sur l’astronaute est égale à la masse de l’astronaute multipliée par l’accélération de l’astronaute. Et on peut réorganiser l’équation en fonction de l’accélération. On divise les deux côtés par la masse de l’astronaute 𝑚, et on voit que les 𝑚 au numérateur et au dénominateur à droite s’annulent, nous laissant avec une expression pour l’accélération de l’astronaute.
En réécrivant ceci en mettant l’accélération au côté gauche de l’équation, on peut utiliser notre expression pour F que l’on a obtenue en utilisant la loi de gravitation de Newton dans cette équation, qui nous donne que l’accélération est égale à 𝐺 majuscule multiplié par le 𝑀 majuscule multiplié par 𝑚 minuscule divisé par 𝑟 au carré le tout divisé par 𝑚. Et ici, l’on voit que la masse de l’astronaute, 𝑚 minuscule, s’annulera au numérateur et au dénominateur de cette fraction. Et cela nous laisse que le chiffre un au dénominateur. On peut donc écrire cette fraction comme son numérateur. Donc 𝑎 est égal à 𝐺 majuscule multiplié par 𝑀 majuscule divisé par 𝑟 au carré.
Dans notre question, l’accélération que l’astronaute subit sur la surface de Ganymède est égale à 𝐺 majuscule multiplié par la masse de Ganymède divisée par le rayon de Ganymède au carré. Tout ce que l’on doit faire maintenant est d’obtenir des valeurs pour 𝐺, 𝑀 majuscule et 𝑟 et de les utiliser dans cette équation pour calculer la gravité à la surface sur Ganymède. 𝐺 est la constante gravitationnelle et a une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres au cube par kilogramme-seconde au carré.
La question nous dit que Ganymède a une masse de 1,48 fois 10 puissance de 23 kilogrammes. Et on nous dit aussi que le rayon de Ganymède est de 2 630 kilomètres. Avant d’aller plus loin, on doit vérifier nos unités. Au numérateur de notre fraction, on a 𝐺 multiplié par 𝑀, qui donne comme unités des mètres cube par kilogramme-seconde au carré multiplié par des kilogrammes au numérateur. Et on voit que les kilogrammes au dénominateur de cette fraction à gauche et les kilogrammes à droite s’annulent. Nos unités du numérateur se simplifient donc en mètres cubes par seconde au carré.
Au dénominateur, on a 𝑟 au carré, ce qui nous donne des unités de kilomètres carrés. Et ici, l’on a un problème. Au numérateur, on a utilisé des mètres pour exprimer la longueur. Et au dénominateur, on a utilisé des kilomètres. Pour effectuer notre calcul, on doit avoir les mêmes unités. Il faut convertir le rayon de kilomètres en mètres avant de continuer. Rappelons-nous qu’un kilomètre est égal à 1000 mètres, ou de manière équivalente, l’on écrit cela comme un fois 10 puissance trois mètres. On peut simplement multiplier la valeur de 𝑟 par 10 puissance trois pour la convertir de kilomètres en mètres, ce qui nous donne un rayon de 2 630 fois 10 puissance trois mètres.
Puisque l’on a converti nos unités, on voit que l’on peut exprimer les mètres cubes par seconde au carré en mètres multipliés par mètres multipliés par des mètres divisés par des secondes au carré, et nous pouvons écrire les mètres au carré en mètres multipliés par des mètres. Et cela nous fait voir que l’on peut annuler deux de ces termes du numérateur et du dénominateur de cette fraction, ce qui nous laisse avec des unités de mètres par seconde au carré seulement, et ce sont les bonnes unités pour l’accélération.
Cela fait, on continue le remplacement des valeurs dans cette équation. Cela nous donne 𝑎 est égal à 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme-seconde au carré multiplié par 1,48 fois 10 puissance 23 kilogrammes divisé par 2,630 fois 10 puissance trois mètres au carré. En calculant cette expression, nous obtenons 𝑎 est égal à 1,427… mètres par seconde au carré.
La dernière chose à faire est de donner notre réponse à deux décimales. 1,427… à deux décimales est égal à 1,43. Donc 𝑎 est égal à 1,43 mètre par seconde au carré. C’est l’accélération que l’astronaute subit à la surface de Ganymède et qui est également connue sous le nom de gravité à la surface de Ganymède. Ainsi, la gravité à la surface de Ganymède à deux décimales près est égale à 1,43 mètre par seconde au carré.
