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Vidéo de question : Calculer la masse d’une étoile en fonction de la période orbitale et du rayon d’une planète Physique

On peut utiliser la formule 𝑀 = 4𝜋²𝑟³ / 𝐺𝑇² pour calculer la masse 𝑀 d’une planète, ou d’une étoile, en fonction de la période orbitale 𝑇 et du rayon orbital 𝑟 d’un objet en orbite circulaire autour de cette planète, ou de cette étoile. On a découvert une planète en orbite autour d’une étoile lointaine avec une période de 105 jours et un rayon de 0,480 UA. Quelle est la masse de l’étoile ? On utilisera une valeur de 6,67 × 10⁻¹¹ m³ / kg⋅s² pour la constante universelle de gravitation et une valeur de 1,50 × 10¹¹ m pour la longueur de 1 UA. On donnera la réponse en écriture scientifique à deux décimales près.

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Transcription de vidéo

On peut utiliser la formule 𝑀 égale quatre 𝜋 carré 𝑟 cube divisé par 𝐺𝑇 au carré pour calculer la masse 𝑀 d’une planète, ou d’une étoile, en fonction de la période orbitale 𝑇 et du rayon orbital 𝑟 d’un objet se déplaçant le long d’une orbite circulaire autour de cette planète, ou de cette étoile. On a découvert une planète en orbite autour d’une étoile lointaine avec une période de 105 jours et un rayon de 0, 480 UA. Quelle est la masse de l’étoile ? On utilisera une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde au carré pour la constante universelle de gravitation et une valeur de 1,50 fois 10 puissance 11 mètres pour la longueur d’une UA. On donnera la réponse en écriture scientifique a deux décimales près.

Nous avons donc une planète en orbite circulaire autour d’une étoile. Avec nos connaissances en physique et quelques calculs mathématiques assez simples, nous pouvons déterminer la masse d’une planète aussi grande et aussi éloignée en utilisant des informations sur son orbite. C’est plutôt cool ! Regardons de plus près la formule que nous allons utiliser. 𝑀 est égale à quatre 𝜋 carré 𝑟 cube divisé par 𝐺𝑇 carré. Alors, les valeurs de tous les termes de cette formule sont fournies. Mais avant de les remplacer, ils faut vérifier qu’elle soient toutes exprimées en unités de base SI.

G, la constante universelle de gravitation, est déjà exprimée en mètres, kilogrammes et secondes. Donc c’est bon. Et maintenant, regardons le rayon orbital 𝑟. Nous savons qu’il est égal à 0,480 UA. Et même si l’unité astronomique est fréquemment utilisée en astronomie, ce n’est pas une unité SI. Convertissons-la alors en mètres. On nous dit qu’une UA est égale à 1,5 fois 10 puissance 11 mètres. Nous pouvons donc multiplier 𝑟 par 1,50 fois 10 puissance 11 mètres divisés par une UA, ce qui est égal à un. L’unité UA se simplifie. Et nous obtenons ainsi que 𝑟 est égal à 7 200 fois 10 puissance 10 mètres.

Regardons ensuite la période orbitale 𝑇, qui est égale à 105 jours. Les jours ne sont pas une unité de temps SI. Nous devons donc les convertir en secondes. Rappelons qu’un jour est égal à 24 heures, qu’une heure est égale à 60 minutes et qu’une minute est égale à 60 secondes. Nous pouvons utiliser ces trois égalités pour écrire trois facteurs de conversion, chacun égal à un. Nous pouvons maintenant simplifier les unités de jours, d’heures et de minutes, pour ne garder que les secondes. Et en multipliant maintenant 105 fois 24 fois 60 fois 60 secondes, nous obtenons une valeur de 9 072 fois 10 puissance six secondes pour la période orbitale 𝑇.

Nous pouvons maintenant utiliser les valeurs pour le calcul. En les remplaçant dans la formule, nous avons 𝑀 égale à quatre 𝜋 fois 7 200 fois 10 puissance 10 mètres cube divisé par 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde carré fois 9, 072 fois 10 puissance six secondes au carré. Alors, nous avons beaucoup d’unités ici, vérifions que tout fonctionne bien et que nous obtenons un résultat final en kilogrammes.

Tout d’abord, pour que soit plus clair, regroupons les unités ici, en faisant attention aux exposants. Maintenant, simplifions les mètres cubes ainsi que les secondes au carré au dénominateur. Il nous reste un divisé par des kilogrammes au dénominateur, ce qui nous donne des kilogrammes au numérateur. Maintenant faisons le calcul, 𝑀 est égal à 2 684 fois 10 puissance 30 kilogrammes. Et en arrondissant enfin à deux décimales près, nous avons déterminé que la masse de l’étoile est de 2,68 fois 10 puissance 30 kilogrammes.

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