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Vidéo de question : Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs affichés sur un quadrillage en 3D Physique

Le schéma illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de 1. Calculez 𝐀 × 𝐁.

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 dans un espace tridimensionnel. Les deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁.

Ceci est une question sur les produits vectoriels. Et plus précisément, on nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁, où les vecteurs 𝐀 et 𝐁 nous sont donnés sous la forme de flèches dessinées sur un schéma. Et on nous dit que 𝐀 et 𝐁 se situent dans le plan 𝑥𝑦.

Commençons par rappeler la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Considérons deux vecteurs généraux 𝐂 et 𝐃 et supposons qu’ils se situent tous deux dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs en fonction de leurs composantes comme une composante 𝑥 avec un indice 𝑥 multiplié par 𝐢 chapeau plus une composante 𝑦 avec un indice 𝑦 multiplié par 𝐣 chapeau. Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐂 et 𝐃 est la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃 moins la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃 le tout multiplié par 𝐤 chapeau, qui est le vecteur unitaire de la direction 𝑧.

Ce que cette expression pour le produit vectoriel nous dit, c’est que pour calculer notre produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁, nous allons avoir besoin de connaître les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs 𝐀 et 𝐁. La question nous dit que les carreaux du quadrillage sur le schéma ont chacun une longueur de côté égale à un. Cela signifie que pour trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs, il suffit de compter le nombre de carreaux qui correspondent à la longueur de chaque vecteur dans la direction 𝑥 et la direction 𝑦.

Commençons par le faire pour le vecteur 𝐀. Nous voyons que le vecteur 𝐀 s’étend d’un, deux, trois, quatre, cinq carreaux dans le sens négatif de la direction 𝑥 et qu’il s’étend d’un carreau dans le sens négatif de la direction 𝑦. Nous avons donc que la composante 𝑥 de 𝐀 est de moins cinq et la composante 𝑦 de 𝐀 est de moins un. Cela signifie que nous pouvons écrire le vecteur 𝐀 sous forme de composante comme moins cinq 𝐢 chapeau moins un 𝐣 chapeau.

Maintenant, faisons de même pour le vecteur 𝐁. Nous voyons que le vecteur 𝐁 s’étend d’une, deux unités dans le sens positif de la direction 𝑥 et d’une, deux, trois unités dans le sens négatif de la direction 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐁 est de deux, et la composante 𝑦 de 𝐁 est de moins trois. Et nous pouvons écrire 𝐁 en fonction de ses de composantes comme deux 𝐢 chapeau moins trois 𝐣 chapeau.

Maintenant que nous avons chacun de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁 en fonction de leurs composantes, nous sommes prêts à calculer le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁. En regardant notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que le premier terme est donné par la composante 𝑥 du premier vecteur du produit multiplié par la composante 𝑦 du deuxième vecteur dans le produit. Le premier vecteur de notre produit vectoriel est 𝐀, et le deuxième vecteur est 𝐁. Nous avons donc besoin de la composante 𝑥 du vecteur 𝐀, qui est de moins cinq, multipliée par la composante 𝑦 du vecteur 𝐁, qui est de moins trois.

Nous soustrayons ensuite un deuxième terme au premier. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 du premier vecteur du produit multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur du produit. Donc, dans notre cas, il s’agit de la composante 𝑦 de 𝐀, qui est de moins un, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est de deux. Et puis tout cela est multiplié par le vecteur unitaire 𝐤 chapeau.

Notre dernière étape consiste à évaluer cette expression ici. Ce premier terme moins cinq multiplié par moins trois nous donne plus 15. Et ce deuxième terme moins un multiplié par deux nous donne moins deux. Nous avons donc 15 moins moins deux, ce qui nous donne 17. Et donc notre réponse finale est que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à 17𝐤 chapeau.

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