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Vidéo de question : Déterminer la dérivée seconde d’une fonction définie implicitement à l’aide de la dérivation implicite Mathématiques

Sachant que 𝑥² + 3𝑦² = 3, déterminez 𝑦 ″ par dérivation implicite.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑥 au carré plus trois 𝑦 au carré est égal à trois, déterminez 𝑦 seconde par dérivation implicite.

Cet 𝑦 seconde est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et on nous demande de la trouver par dérivation implicite - c’est-à-dire en dérivant les deux côtés de notre équation par rapport à 𝑥. Alors faisons-le. 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑥 au carré plus trois 𝑦 au carré est alors égale à 𝑑 sur 𝑑𝑥 de trois. Et nous pouvons dériver séparément les deux termes du le côté gauche.

𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑥 au carré est simple. C’est juste deux 𝑥. 𝑑 sur 𝑑𝑥 de trois 𝑦 au carré est plus difficile. Nous devons utiliser la règle de la dérivation en chaîne. 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑓 sur 𝑑𝑦 fois 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Donc, avec 𝑓 égale trois 𝑦 au carré, c’est 𝑑 sur 𝑑𝑦 de trois 𝑦 au carré fois 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et 𝑑 sur 𝑑𝑦 de trois 𝑦 au carré c’est six 𝑦. Donc, à droite, 𝑑 sur 𝑑𝑥 de trois 𝑦 au carré donne six 𝑦 fois 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. 𝑑 sur 𝑑𝑥 de trois vaut zéro. Et donc, à la fin, nous avons que deux 𝑥 plus six 𝑦 fois 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 égale zéro. Et nous pouvons réorganiser cela pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.

Tout d’abord, en soustrayant deux 𝑥 des deux côtés, puis en divisant par six 𝑦 et, en remarquant que nous pouvons simplifier deux, nous obtenons moins 𝑥 sur trois 𝑦. Et nous pouvons respecter la notation de notre problème et utiliser la notation « prime » pour représenter les dérivées. Ainsi, 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est 𝑦 prime. On a donc 𝑦 prime égale moins 𝑥 sur trois 𝑦. Mais qu’est-ce que 𝑦 seconde? Eh bien, nous devons dériver à nouveau par rapport à 𝑥. En dérivant les deux côtés par rapport à 𝑥, on obtient 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑦 prime égale 𝑑 sur 𝑑𝑥 de moins 𝑥 sur trois 𝑦. Et 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑦 prime est égal à 𝑑 sur 𝑑𝑥 de la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥, c’est donc la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est à dire le 𝑦 seconde que nous recherchons.

À droite, nous avons la dérivée d’un quotient. Et donc nous allons avoir besoin de la règle du quotient et la voici dans toute sa splendeur. Maintenant, en l’appliquant avec 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 et 𝑑 de 𝑥 égale à trois 𝑦, sans oublier le signe moins, nous obtenons moins trois 𝑦 fois la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 moins 𝑥 fois la dérivée de trois 𝑦 par rapport à 𝑥 sur trois 𝑦 au carré.

Maintenant, nous pouvons simplifier. La dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 c’est un. Et ainsi le premier terme du numérateur devient trois 𝑦. La dérivée de trois 𝑦 par rapport à 𝑥 est trois fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 - trois 𝑦 prime. Et ainsi le deuxième terme devient trois 𝑥 𝑦 prime. Et enfin, le dénominateur est neuf 𝑦 carré.

Nous voyons que nous pouvons simplifier par trois. Et donc nous obtenons moins 𝑦 moins 𝑥 𝑦 prime sur trois 𝑦 au carré. Nous pouvons également absorber le signe moins dans la fraction. Et donc obtenons 𝑦 seconde égale 𝑥 fois 𝑦 prime moins 𝑦 sur trois 𝑦 au carré. Maintenant, nous avons écrit 𝑦 seconde en fonction de 𝑥, 𝑦 et 𝑦 prime, la dérivée de 𝑦.

Mais en réalité, nous préférerions que 𝑦 seconde soit écrit en fonction de 𝑥 et 𝑦 seulement. De cette façon, si on nous donne un point avec les coordonnées 𝑥 et 𝑦 qui se trouve sur notre courbe, nous pouvons simplement remplacer ces coordonnées par 𝑥 et 𝑦 dans notre expression pour trouver la valeur de 𝑦 seconde en ce point. Pour obtenir 𝑦 seconde écrit en fonction de 𝑥 et 𝑦, nous devons nous débarrasser du 𝑦 prime. Comment faire? Eh bien, nous pouvons substituer l’expression que nous avons de 𝑦 prime en fonction de 𝑥 et de 𝑦.

En effectuant cette substitution, nous obtenons 𝑦 seconde en fonction de 𝑥 et 𝑦. Et il ne reste plus qu’à simplifier. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur par trois 𝑦. Ainsi, le premier terme du numérateur devient moins 𝑥 au carré et le deuxième terme devient moins trois 𝑦 au carré. Le dénominateur devient neuf 𝑦 au cube. Nous pouvons retirer un signe moins ici. Mais en regardant cette expression seule, il semble que nous ayons terminé.

Mais regardons ce numérateur 𝑥 au carré plus trois 𝑦 au carré. On nous dit dans notre problème que 𝑥 au carré plus trois 𝑦 au carré est égal à trois. Et donc nous obtenons une simplification inattendue: 𝑦 seconde égale moins trois sur neuf 𝑦 au cube. Et nous pouvons de nouveau simplifier par trois. Et ainsi nous obtenons notre réponse finale que 𝑦 seconde, la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, est égale à moins un sur trois 𝑦 au cube.

Ici, nous avons utilisé deux fois la dérivation implicite pour trouver 𝑦 prime en fonction de 𝑥 et 𝑦, puis à nouveau pour trouver 𝑦 seconde en fonction de 𝑥, 𝑦 et 𝑦 prime. En substituant l’expression 𝑦 prime en fonction de 𝑥 et 𝑦, nous avons obtenu 𝑦 seconde en fonction de 𝑥 et 𝑦 seulement. Et puis, nous avons remarqué qu’il y avait une substitution vraiment inattendue et presque magique que nous pouvions faire ce qui nous a permis d’écrire 𝑦 seconde en fonction de 𝑦 seulement.

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