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Vidéo de question : Déterminer la valeur de la limite d’une fonction à partir d’un tableau Mathématiques

Le tableau suivant donne les valeurs de la fonction 𝑓 en plusieurs valeurs de 𝑥. Qu’indique le tableau sur la valeur de lim_ (𝑥 → −5) (𝑓 (𝑥)) ?

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Transcription de vidéo

Le tableau suivant donne les valeurs de la fonction 𝑓 en plusieurs valeurs de 𝑥. Qu’indique le tableau sur la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑓 de 𝑥 ?

Dans cette question, on nous donne un tableau de valeurs pour une fonction 𝑓. Dans la première ligne de notre tableau, on nous donne nos valeurs d’entrée pour 𝑥. Et dans la dernière ligne de notre tableau, on nous donne nos images 𝑓 de 𝑥. Nous devons voir si nous pouvons utiliser ce tableau pour déterminer les informations sur la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, commençons par rappeler exactement ce que nous entendons par la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑓 de 𝑥.

Nous rappelons que nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à une valeur constante 𝐿 si les valeurs de nos images 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de la valeur de moins cinq des deux côtés. Donc, pour vérifier si la limite qui nous est donnée dans la question approche bien une valeur constante 𝐿, nous devons voir si nos images 𝑓 de 𝑥 se rapprochent d’une certaine valeur 𝐿 lorsque les valeurs d’entrée de 𝑥 se rapprochent de moins cinq des deux côtés. Et nous pouvons faire ceci à partir de notre tableau. Commençons par les valeurs de 𝑥 supérieures à moins cinq.

Commençons par la première colonne de notre tableau. Notre valeur d’entrée 𝑥 est moins 4,895, et nous voulons voir quelle est notre valeur image. Nous pouvons voir que la valeur de 𝑓 pour ce 𝑥 est égale moins 14,01, et ceci est bon à savoir. Mais rappelez-vous, pour voir ce qui arrive à notre limite, nous voulons savoir ce qui se passe lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins cinq. Donc, nous allons devoir choisir des valeurs de 𝑥 encore plus proches de moins cinq.

Regardons la troisième colonne de notre tableau. Maintenant, nous pouvons voir que la valeur d’entrée 𝑥 est moins 4,979. Et c’est encore plus proche de moins cinq que la valeur de 𝑥 dans notre première colonne. Et une façon de voir ceci est de calculer la différence entre ces deux valeurs. Nous pouvons voir que lorsque nous soustrayons moins 4,979 de moins cinq, nous obtenons une valeur plus proche de zéro. Voyons donc, si nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de notre valeur.

Nous pouvons voir maintenant que la valeur de 𝑓 en cette valeur de 𝑥 est égale moins 14,003. Et maintenant, nous commençons à voir un motif. Dans notre première valeur de 𝑥, notre image était moins 14,01. Cependant, maintenant, nous sommes encore plus proches de moins 14 avec une valeur de moins 14,003. Et encore une fois, nous pouvons calculer explicitement à quel point nous nous rapprochons de cette valeur de moins 14. En calculant la différence entre ces images 𝑓 de 𝑥 et notre valeur de moins 14, nous pouvons voir que nous passons de 0,01 à 0,003. Et ceci est, bien sûr, beaucoup plus proche de zéro.

Dans notre tableau, nous avons une valeur de plus de 𝑥 qui est encore plus proche de moins cinq par la droite. Voyons si ce motif continue. Cette fois, nous allons utiliser la valeur 𝑥 égale moins 4,9999. Par acquit de conscience, nous commencerons par vérifier que cette valeur de 𝑥 est en effet plus proche de moins cinq. Nous pouvons voir que la différence entre cette valeur de 𝑥 et moins cinq est beaucoup plus proche de zéro que les autres. Donc elle est en effet plus proche de moins cinq.

Maintenant, tout ce que nous devons faire est de vérifier que notre image est plus proche de moins 14. Nous pouvons le voir directement à partir de notre tableau. Cependant, nous pouvons également calculer cette différence directement, et nous voyons qu’elle est égale à 0,0001. Et maintenant ceci confirme notre motif. Lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins cinq par la gauche, nos images 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de moins 14. Donc, il semblerait que nous devions choisir notre valeur de 𝐿 égale à moins 14. Cependant, nous devons être prudents. Rappelez-vous, nous devons toujours vérifier ce qui se passe des deux côtés. Donc, nous devons aussi voir ce qui se passe de l’autre côté. Nous devons choisir des valeurs de 𝑥 inférieures à moins cinq. Nous pouvons le faire exactement de la même manière.

Commençons par la dernière colonne de notre tableau. Nous avons 𝑥 égale moins 5,02. Cette fois, nous pouvons voir que notre image sera moins 13,895. Rappelez-vous, pour vérifier la valeur de cette limite, nous devons voir ce qui se passe lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins cinq. Et nous pourrions vérifier ceci directement. Cependant, nous pouvons voir directement dans notre tableau que nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins cinq lorsque nous changeons de colonnes.

Donc, nous devons voir ce qui arrive à nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque nous changeons de colonnes. Nous voulons vérifier que ces images se rapprochent de plus en plus de moins 14 car nous pourrons alors conclure que cette limite est égale à moins 14. Et une façon de faire ceci est de vérifier la différence entre nos images et moins 14. Dans la dernière colonne de notre tableau, notre valeur image 𝑓 de 𝑥 est moins 13,895. Ainsi, la différence entre ceci et moins 14 est calculée par moins 14 moins moins 13,895. Et nous pouvons calculer que ceci est égal à moins 0,105.

Nous pouvons faire de même pour l’avant-dernière colonne de notre tableau. Nous obtenons une valeur image de moins 13,92. Et nous pouvons calculer la différence entre ceci et moins 14 qui est égale à moins 0,08. Et nous pouvons faire exactement la même chose pour nos deux colonnes restantes. Nous obtenons des différences de moins 0,002 et moins 0,001. Et encore une fois, nous pouvons voir un motif dans ces valeurs. Elles se rapprochent de plus en plus de zéro.

Donc, ceci signifie que lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en en plus de moins cinq par la gauche, nos images se rapprochent de plus en plus de moins 14. Par conséquent, lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins cinq des deux côtés, nos images 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de moins 14. Et c’est exactement ce que nous disons dans notre définition, à savoir que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins cinq est égale à moins 14.

Par conséquent, en regardant les valeurs de notre fonction 𝑓 dans ce tableau, nous avons pu montrer que le tableau suggère que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 14.

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