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Vidéo de question : Détermination du travail effectué par un anneau glissant sur un poteau vertical Mathématiques

Un anneau de masse de 1,5 kg glissait sur un poteau vertical. À partir du repos, il a accéléré sur une distance de 3,3 m jusqu’à ce que sa vitesse devienne 6,2 m/s. En utilisant le principe de travail-énergie, déterminez le travail effectué par la résistance au mouvement de l'anneau. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un anneau de masse de 1,5 kilogramme glissait sur un poteau vertical. À partir du repos, il a accéléré sur une distance de 3,3 mètres jusqu’à ce que sa vitesse devienne 6,2 mètres par seconde. En utilisant le principe de travail-énergie, déterminez le travail effectué par la résistance au mouvement de l'anneau. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Commençons par noter les informations utiles données dans cette question. On nous dit que la masse de l’anneau est de 1,5 kilogramme. On appelle cela 𝑚. L’anneau parcourt une distance de 3,3 mètres vers le bas d’un poteau. On appelle cette distance 𝑑. Après avoir parcouru cette distance, il atteint une vitesse de 6,2 mètres par seconde, qu’on appelle 𝑣 indice 𝑓. On nous dit aussi que l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. Et on veut calculer le travail effectué par la force de résistance au mouvement de l’anneau. On appelle ce travail 𝑊 indice 𝑟.

Faisons un schéma de cette situation. On a un anneau, dont la masse est connue, qui glisse une distance particulière 𝑑, également connue, vers le bas d’un poteau vertical, atteignant une vitesse qu’on appelle 𝑣 indice 𝑓.

Si nous souhaitons dessiner les forces que l’anneau subit, il y a la force gravitationnelle qui tire l’anneau vers le bas, 𝑚 fois 𝑔. Il y a aussi une force qui agit vers le haut qui s’oppose à la descente de l’anneau sur le poteau. On peut appeler cette force 𝐹 indice 𝑟 pour indiquer la résistance. Cette force est due au frottement.

On veut calculer le travail effectué par cette force de résistance. Et pour le faire, on va rappeler un principe appelé le principe du travail-énergie. Ce principe dit que le travail effectué sur un objet 𝑊 est égal à sa variation d’énergie cinétique. On peut donc écrire que le travail effectué par la force de résistance est égal au changement d’énergie cinétique due à cette force de résistance.

Pour écrire une expression pour la variation de l’énergie cinétique due à la force de résistance, on doit garder deux choses à l’esprit. Premièrement, s’il y a une force de résistance ou pas, l’anneau gagne de l’énergie cinétique grâce à la force de la pesanteur qui le tire vers le bas du poteau. Et deuxièmement, les valeurs qu’on nous donne pour la vitesse finale de l’anneau et la distance parcourue reflètent la résistance qui se produit lors de son glissement.

On peut écrire que la variation de l’énergie cinétique due à la force de résistance est égale à l’énergie de l’anneau au sommet de sa trajectoire avant qu’il ne commence à se déplacer moins son énergie au bas de sa trajectoire, c’est-à-dire après sa descente de 3,3 mètres.

Si on rappelle que l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet est égale à sa masse multipliée par 𝑔 fois sa hauteur au-dessus d’une ligne de base et que l’énergie cinétique d’un objet est égale à un demi de sa masse multipliée par sa vitesse au carré, alors on peut remplacer 𝐸 indice haut par 𝑚 fois 𝑔 fois 𝑑. Et on peut remplacer 𝐸 indice bas par un demi 𝑣 indice 𝑓 au carré.

En regardant ces deux termes, s’il n’y a pas de force de résistance sur l’anneau lorsqu’il glisse vers le bas, alors 𝑚𝑔𝑑 moins un demi 𝑚 𝑣 sous 𝑓 au carré est zéro. C’est-à-dire que toute l’énergie potentielle est parfaitement convertie en énergie cinétique. Mais comme une partie de l’énergie de l’anneau est perdue par frottement, ces deux termes ne seront pas exactement égaux. Et leur différence est égale à l’énergie perdue à cause de cette résistance.

Puisqu’on a la masse de l’anneau ainsi que la distance qu’il descend, sa vitesse finale et l’accélération due à la pesanteur, on est prêts à remplacer par ces valeurs et calculer. Lorsqu’on le fait, après avoir factoriser par la masse avoir mis les autres grandeurs sur une calculatrice, on obtient que la variation de l’énergie cinétique due à la force de résistance est de 19,68 joules. Et selon le principe du travail-énergie, cela est égal au travail effectué par la force de résistance.

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