Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment résoudre les équations qui impliquent une
inconnue en deux endroits, l’une avec valeur absolue et l’autre sans. Rappelez-vous maintenant que prendre la valeur absolue signifie simplement prendre la
version positive d’un nombre, donc ignorer le signe moins. Nous examinerons deux façons de résoudre les problèmes : l’une considérant purement
algébriquement différentes valeurs possibles et l’autre en examinant les graphiques et en
considérant l’effet de la prise de la valeur absolue. D’accord, regardons notre premier exemple.
Eh bien, nous devons résoudre la valeur absolue de 𝑥 plus deux est égale à 𝑥 plus
deux. Et nous avons deux situations différentes à considérer : si 𝑥 plus deux est supérieur ou
égal à zéro, alors c’est déjà positif donc nous n’avons rien à faire de fantaisiste ; si 𝑥
plus deux est inférieur à zéro, alors nous devons prendre moins cette valeur afin de la
transformer en une valeur positive. C’est ce que fait la fonction valeur absolue. Donc, les valeurs de 𝑥 en bas de chacune de ces branches sont, en soustrayant bien deux de
chaque côté de l’inégalité à gauche là-bas, est 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux, et en
faisant de même pour l’autre inégalité, 𝑥 est inférieur à moins deux. Donc, si la valeur de 𝑥 est inférieure à moins deux, nous allons descendre la branche de
la main droite ; et si la valeur de 𝑥 est supérieure ou égale à moins deux, nous allons
descendre la branche de la main gauche. Et si nous descendons la branche de gauche, cela signifie que la valeur de 𝑥 plus deux est
positive, donc nous n’avons pas à nous inquiéter. Nous allons donc simplement utiliser l’expression 𝑥 plus deux. Donc, ce que nous disons est 𝑥 plus deux sur le côté gauche est égal à 𝑥 plus deux sur le
côté droit, et c’est vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Mais rappelez-vous, bien que ce ne soient que des valeurs de 𝑥, nous nous étendions à des
valeurs de 𝑥 qui étaient supérieures ou égales à moins deux pour entrer ici. Ce sont donc toutes les valeurs de 𝑥 qui sont supérieures ou égales à moins deux. En descendant maintenant dans le bon canal, nous savons que 𝑥 est inférieur à moins deux,
et nous savons que 𝑥 plus deux nous donne une réponse qui est moins un, donc nous devons
prendre l’opposé de ce négatif pour le transformer en positif. Cela signifie donc que l’opposé de 𝑥 plus deux est égal à 𝑥 plus deux ou moins 𝑥 moins
deux est égal à 𝑥 plus deux. Eh bien, si j’ajoute 𝑥 aux deux côtés de cette équation, j’obtiens moins deux est égal à
deux 𝑥 plus deux ; alors si j’en soustrais deux des deux côtés, j’obtiens moins quatre est
égal à deux 𝑥 ; puis si je divise les deux côtés par deux, j’obtiens la réponse 𝑥 est égal
à moins deux. Maintenant, si nous sommes vraiment stricts à ce sujet, nous avons dit que 𝑥 était
inférieur à moins deux pour descendre dans cette voie en premier lieu, ce n’est donc pas une
solution valable. Mais en fait, à proprement parler, 𝑥 pourrait être égal à moins deux pour descendre dans
cette voie car l’opposé de zéro est toujours nul. Donc, prendre la valeur absolue de cela fonctionnerait en fait. En fait, cela n’a pas d’importance dans les deux cas, car nous avons déjà couvert cette
solution de l’autre côté ici. Donc, la réponse est 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux, que nous pouvons également
écrire en notation d’intervalle comme ceci. le moins deux est inclus, nous avons donc le
crochet carré et il va jusqu’à l’infini positif, qui a toujours les parenthèses ou le
crochet rond.
Maintenant, nous avons également promis de l’examiner graphiquement. Donc, si je dessine la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 plus deux, tout de suite de l’équation 𝑦
est égal à 𝑥 plus deux, nous pouvons voir que la pente est un. Donc, chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, ma coordonnée 𝑦 augmente
également d’une unité, et l’interception 𝑦 est de deux. Et il coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑦 est égal à zéro, donc zéro est égal à 𝑥 plus deux. En soustrayant deux des deux côtés, 𝑥 est égal à moins deux. Il coupe donc l’axe des 𝑥, 𝑥 est moins deux, coupe l’axe des 𝑦 en deux et a une pente de
un. Pensons maintenant à la courbe de 𝑦 égal à la valeur absolue de 𝑥 plus deux. Eh bien, cela va être comme la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 plus deux quand il se trouve être
au-dessus de l’axe des 𝑥, lorsque les coordonnées 𝑦 sont positives. Mais lorsque les coordonnées 𝑦 deviennent négatives, nous reflétons cela par rapport à
l’axe des 𝑥 de sorte que toutes les coordonnées 𝑦 négatives correspondent à leurs
équivalents positifs. Donc, la droite orange, il y a la droite 𝑦 est égale à la valeur absolue de 𝑥 plus
deux. Et à droite de l’endroit où la coordonnée 𝑦 est nulle à 𝑥 est égal à moins deux et, en
fait, même lorsque 𝑥 est égal à moins deux. J’ai donc mis un petit point solide ici. Cette région là, nous utilisons simplement l’équation 𝑦 égale 𝑥 plus deux pour générer
les coordonnées 𝑦 pour cette droite orange à partir des coordonnées 𝑥. Maintenant, à gauche de cela, cette équation générerait des coordonnées 𝑦 négatives, donc
nous prenons l’opposé des coordonnées 𝑦 négatives pour générer ces coordonnées positives
ici. Donc, à gauche de 𝑥 est égal à moins deux, nous utilisons l’équation selon laquelle la
coordonnée 𝑦 est égale au moins la coordonnée générée par 𝑥 plus deux. En d’autres termes, 𝑦 est égal à moins 𝑥 moins deux Donc, la question était de savoir
quand ces deux choses sont égales ? Quand la droite 𝑦 est égale à la valeur absolue de 𝑥 plus deux coupe-t-elle la droite 𝑦
est égale à 𝑥 plus deux ? Et ce sont toutes ces valeurs ici, y compris lorsque 𝑥 est égal à moins deux, et toutes
ces valeurs à l’infini dans cette direction ici. Ainsi, l’ensemble des valeurs 𝑥 qui correspondent à cela sont 𝑥 est égal à moins deux et
tout ce qui est à droite de cela. Nous avons donc les mêmes réponses, soit en le faisant algébriquement, soit en utilisant la
courbe, mais l’utilisation du graphique vous donne un peu plus de détails sur la raison de
cette réponse et ce qui se passe vraiment.
Regardons le numéro deux alors.
Résoudre la valeur absolue de 𝑥 plus cinq est égale à moins cinq 𝑥 plus deux. Encore une fois, nous avons une valeur absolue, il y a donc deux scénarios différents. Soit la valeur à l’intérieur de la fonction absolue 𝑥 plus cinq est déjà supérieure ou
égale à zéro, soit elle est négative et doit être changée en une valeur positive. Donc, juste en pensant aux valeurs 𝑥 qui correspondent à cela, si 𝑥 plus cinq est
supérieur ou égal à zéro, cela se produit lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins cinq ; si
𝑥 plus cinq est inférieur à zéro, alors cela se produit lorsque 𝑥 est inférieur à
cinq. Donc, en descendant d’abord dans la branche de gauche, si le contenu de la valeur absolue
était déjà positif, alors nous pouvons simplement prendre 𝑥 plus cinq car il est déjà
positif et nous pouvons résoudre cette équation. Donc, ajouter cinq 𝑥 des deux côtés nous donne six 𝑥 plus cinq égale deux. Et puis soustraire cinq des deux côtés nous donne un six 𝑥 est égal à moins trois. Et puis, la division des deux côtés par six nous donne 𝑥 est égal à moins trois sur six,
ce qui est moins un demi. Donc, juste avant de considérer qu’une solution appropriée, nous devons penser, « Est-ce
dans la région qui nous aurait amenés ici de toute façon ?» Pour descendre dans cette branche, 𝑥 devait être supérieur ou égal à moins cinq, et
moins un demi est supérieur ou égal à moins cinq, donc ça va. C’est une bonne solution. Regardons donc l’autre côté.
De ce côté, rappelez-vous que 𝑥 plus cinq nous a donné une réponse négative, nous devons
donc convertir cela en son équivalent positif. Donc, au lieu de prendre 𝑥 plus cinq, nous prenons le moins 𝑥 plus cinq pour le
transformer en une coordonnée positive, et c’est égal à moins cinq 𝑥 plus deux. Donc, en distribuant moins un sur les parenthèses, nous avons moins 𝑥 retirer cinq est
égal à moins cinq 𝑥 plus deux, et donc ajouter cinq 𝑥 des deux côtés nous donne maintenant
quatre 𝑥 moins cinq sur le côté gauche et juste deux sur le côté droit. donc si j’ajoute
maintenant cinq des deux côtés, j’ai quatre 𝑥 est égal à sept. Et maintenant, finalement, divisez simplement les deux côtés par quatre et je reçois 𝑥 est
égal à sept sur quatre. Mais attendez ! Nous avons dit que pour descendre dans cette branche, 𝑥 devait être inférieur à moins
cinq ; mais en faisant cela, nous avons trouvé une réponse 𝑥 est égal à sept positif sur
quatre. Il s’agit donc d’une solution de non-sens parasite, donc ce n’est pas une solution correcte
ici. Donc, la seule réponse que nous avons qui soit valide est 𝑥 égale à moins un demi. Jetons un œil au graphique et voyons pourquoi c’est le cas.
Considérons donc d’abord la courbe de 𝑦 égal à moins cinq 𝑥 plus deux qui a une pente de
moins cinq et il coupe l’axe des 𝑦 en deux. Donc moins cinq chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 par un, ma coordonnée 𝑦 va
aller par cinq. Nous examinons donc une droite de descente très nette, et elle coupe l’axe des 𝑥 lorsque
𝑦 est égal à zéro. Donc, mettre la coordonnée 𝑦 égal à zéro, nous avons zéro est égal à cinq moins 𝑥 plus
deux, en ajoutant cinq 𝑥 des deux côtés me donne cinq 𝑥 est égal à deux, puis en divisant
les deux côtés par cinq me donne 𝑥 est égal à deux cinquièmes. Elle coupe donc l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 est égal aux deux cinquièmes. Voilà donc à peu près à quoi ressemble la droite 𝑦 moins cinq 𝑥 plus deux. Considérons maintenant la droite de la valeur absolue de 𝑥 plus cinq. Eh bien, ça va être exactement la même chose que la droite 𝑦 est égale à 𝑥 plus cinq à
moins que la coordonnée 𝑦 n’ait été négative, auquel cas elle devient positive. Donc, 𝑦 est égal à 𝑥 plus cinq a une pente de un. Elle coupe l’axe des 𝑦 à 𝑦 est égal à cinq et elle coupe l’axe des 𝑥 à 𝑥 est égal à
moins cinq. Voilà donc la droite 𝑦 est égal à 𝑥 plus cinq. Mais rappelez-vous, nous avons dit que la valeur absolue de 𝑥 plus cinq partout où nous
avons des coordonnées 𝑦 négatives, elles vont se refléter dans leur sorte d’équivalents
positifs ici. Donc, cette partie de la droite à gauche de 𝑥 est égal à moins cinq va en fait rebondir
comme ça dans cette direction. Maintenant, ces deux droites se croisent en un seul endroit ; et dans la région où elles se
croisent, nous regardons l’intersection de cette droite 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 plus
deux avec cette droite 𝑦 est égal à 𝑥 plus cinq. Et lorsque nous résolvons cette équation, nous obtenons une coordonnée 𝑥 moins un demi, ce
qui est exactement ce que nous avons obtenu lorsque nous l’avons fait algébriquement. Alors pourquoi notre approche algébrique nous a-t-elle donné cette fausse réponse de 𝑥 est
égal à sept sur quatre ? Eh bien, il a prolongé cette partie de la droite ici dans cette direction ; puis loin ici
avec cette droite et cette droite a recoupé, il a calculé les correspondants coordonnée 𝑥
ici de sept sur quatre. Maintenant, ce n’est pas une solution valable, vous devez donc être très très prudent
lorsque vous utilisez l’approche algébrique. L’utilisation de ces graphiques vous aide vraiment à visualiser les solutions valides et
celles qui ne le sont pas.
Donc, nous allons simplement résumer les principaux points de ce que nous avons appris. La première chose que nous devons considérer est quand la valeur absolue entre en jeu. Et par cela, nous voulons simplement dire quand devons-nous changer les réponses que nous
obtenons de notre fonction d’origine. Ainsi, par exemple, si nous regardons la valeur absolue de 𝑥 plus cinq, si la valeur de 𝑥
plus cinq est supérieure ou égale à zéro de toute façon, nous pouvons simplement prendre
cette valeur ; c’est déjà positif. Mais si la valeur de 𝑥 plus cinq était inférieure à zéro, nous devrions prendre cette
réponse négative et la transformer en réponse positive. Et la façon dont nous le faisons est que nous prenons l’opposé de cette réponse
négative. Et rappelez-vous, lorsque 𝑥 plus cinq est inférieur à zéro, si j’en retire cinq de chaque
côté, cela se produit lorsque 𝑥 est inférieur à moins cinq. Donc, si 𝑥 est inférieur à moins cinq, je vais prendre le moins 𝑥 plus cinq pour le
transformer en une valeur positive ; mais si 𝑥 est supérieur ou égal à moins cinq, alors je
peux simplement utiliser la valeur 𝑥 plus cinq car elle est déjà supérieure à zéro ou égale
à zéro. Ensuite, nous devons faire deux ensembles de calculs, un dans cette situation et un dans
cette situation, et nous nous retrouvons avec deux ensembles de solutions différents. Et troisièmement, vous devez vérifier si les solutions que vous obtenez correspondent aux
critères ci-dessus. Ainsi, par exemple ici, nous savons que 𝑥 doit être inférieur à moins cinq. Donc, si cela donne une réponse de 𝑥 égale quatre, alors nous savons que ce n’est pas
valide car ce n’est pas moins de moins cinq ; mais s’il a trouvé une réponse moins dix,
alors c’est dans la région valide ; c’est une réponse valable. Et enfin, pensez à dessiner un graphique. L’approche graphique est une approche visuelle qui vous aide à identifier des solutions
valides, peut-être un peu plus facilement plus évidemment. Bonne chance dans la résolution d’équations impliquant des valeurs absolues et non absolues
d’une inconnue.
