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Vidéo de la leçon : La loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la relation entre le nombre de moles d’un gaz parfait et les valeurs de ses propriétés générales.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la relation entre le nombre de moles d’un gaz parfait et les valeurs de ses propriétés générales. Bien sûr nous allons travailler avec un type différent de ce que nous voyons ici.

Tout d’abord, notons que lorsque nous travaillons avec un gaz parfait, cela signifie que le gaz se compose d’un grand nombre de molécules identiques de taille négligeable. Chaque particule de gaz a des propriétés individuelles telles que la masse et la vitesse. Mais lorsque nous travaillons avec un gaz parfait, qui, comme nous l’avons dit, est composé de nombreuses molécules, nous sommes souvent plus intéressés par ce que l’on appelle les propriétés générales du gaz. Ce sont les propriétés telles que la pression, le volume et la température qui s’appliquent à l’ensemble du gaz. Décrire un gaz parfait en fonction de ses propriétés générales nous permet de résumer les actions de très nombreuses molécules individuelles.

Nous savons, par exemple, que la pression du gaz est due à des collisions entre des molécules individuelles d’un gaz dans l’enceinte du récipient de ce gaz. Plutôt que de devoir tenir compte de chaque collision, nous pouvons simplement décrire la propriété générale qu’est pression du gaz. Si nous représentons la pression d’un gaz parfait en utilisant 𝑃, son volume en utilisant 𝑉 et sa température en utilisant 𝑇, alors ces trois propriétés sont liées par cette expression. La pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est proportionnelle à la température du gaz.

Pour voir un peu comment cette relation fonctionne, imaginons que nous gardions le récipient de gaz tel quel, en d’autres termes, nous maintenons le volume du gaz constant, mais que nous élevons la température du gaz. On peut rappeler que la température du gaz est liée à la vitesse moyenne des molécules de gaz. Une augmentation de la température signifie alors que la vitesse moyenne de ces molécules augmentera également. Et donc, lorsque ces molécules de gaz entrent en collision avec les parois du récipient, elles le feront plus fréquemment et à une vitesse moyenne plus élevée et, par conséquent, exerceront globalement une plus grande pression sur les parois du récipient.

Alors, pour un gaz parfait, la pression du gaz multipliée par son volume est directement proportionnelle à la température du gaz. Mathématiquement, chaque fois que nous avons une grandeur directement proportionnelle à une autre grandeur, nous pouvons relier ces deux grandeurs en utilisant une équation. Plus précisément, nous écrivons qu’une grandeur, dans ce cas 𝑃 fois 𝑉, égale une constante - nous l’avons appelée 𝑘 - multipliée par l’autre grandeur, dans ce cas la température 𝑇. 𝑘 est une constante de telle sorte qu’elle ne dépend pas de la pression du gaz, du volume ou de la température. Cela dépend cependant du nombre de particules dans le gaz parfait.

À ce stade, nous pouvons rappeler une façon courante de décrire un nombre d’objets quand ce nombre est très grand. Pour ce faire, nous utilisons une grandeur appelée la mole. Une mole d’un objet donnée est égal à environ six fois 10 puissance 23 de cet objet. La grandeur de la mole est utile pour représenter un grand nombre d’objets et donc rendre ces nombres plus faciles à gérer. Nous évoquons tout cela parce que notre constante 𝑘, dont nous avons dit qu’elle dépend du nombre de particules de gaz, peut être exprimée comme le nombre de moles du gaz idéal impliqué, 𝑛, multiplié par une valeur, 𝑅, appelée constante des gaz parfaits.

En utilisant le fait que 𝑘 peut être écrit comme 𝑛 fois 𝑅, nous pouvons écrire notre équation décrivant un gaz parfait comme ceci. La pression 𝑃 d’un gaz parfait multipliée par son volume 𝑉 est égale au nombre de moles du gaz 𝑛 fois cette constante des gaz parfaits 𝑅 multipliée par la température du gaz 𝑇. Cette expression est parfois appelée la loi des gaz parfaits. Plus précisément, c’est la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles. Bientôt, nous allons nous entraîner à utiliser cette relation.

Pour le moment, notons que notre constante des gaz parfaits, 𝑅 majuscule, a une valeur approximative de 8,31 joules par mole kelvin. Les unités de 𝑅 peuvent sembler étranges, mais rappelons que 𝑛 est exprimé en moles et que la température 𝑇 est exprimée en kelvin. Par conséquent, lorsque 𝑛 en moles est multiplié par 𝑅 en joules par kelvin mole et que cela est multiplié par 𝑇 en kelvin, alors les moles s’annulent du numérateur et du dénominateur, tout comme les kelvin. Il nous reste alors des joules.

Un joule, rappelons-le, est égal à un newton fois un mètre. Et comme un newton peut être exprimé en kilogramme-mètre par seconde carrée, nous pouvons donc exprimer un joule comme étant un kilogramme mètre carré par seconde carrée. Tout cela signifie que nous avons un autre ensemble d’unités pour écrire notre constante des gaz parfaits. Nous pouvons écrire cette constante comme étant 8,31 kilogrammes mètre carré par seconde carrée mole kelvin. C’est une autre façon d’écrire la même chose que ci-dessus.

Sachant tout cela sur la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles, regardons maintenant un exemple.

Un récipient d’un volume de 0,225 mètre cube contient 2,24 moles de dioxygène gazeux à une température de 320 kelvins. Trouvez la pression sur les surfaces intérieures du récipient. Utilisez une valeur de 8,31 mètre carré kilogrammes par seconde carrée mole kelvin pour la valeur de la constante des gaz parfaits. Donnez votre réponse à une décimale près.

Disons que c’est notre récipient contenant du dioxygène gazeux. Et comme on nous le dit, le volume du récipient - nous l’appellerons 𝑉 - est de 0,225 mètre cube et le nombre de moles de notre gaz - nous l’appellerons 𝑛 - est de 2,24. De plus, le gaz existe à une température 𝑇 de 320 kelvin. Avoir une température supérieure au zéro absolu, comme cette température, implique que les particules de dioxygène dans le volume donné sont en mouvement. En se déplaçant, ces particules entrent en collision les unes avec les autres et avec les parois du récipient. L’effet global de ces collisions avec les surfaces intérieures du récipient est de créer une pression. C’est cette pression que nous voulons déterminer.

Et pour ce faire, nous allons utiliser une forme de loi des gaz parfaits, où cette forme comprend le nombre de moles du gaz 𝑛 considéré. Cette équation dit que la pression 𝑃 d’un gaz parfait multipliée par le volume de ce gaz est égale au nombre de moles du gaz multiplié par la constante des gaz parfaits 𝑅 multipliée par la température du gaz 𝑇. Avec notre dioxygène dans le récipient, que nous traitons comme un gaz parfait, nous voulons déterminer la pression.

Par conséquent, nous aimerions réorganiser cette équation de la loi des gaz parfaits pour que la pression 𝑃 soit le sujet. Nous pouvons le faire en divisant les deux côtés de l’équation par le volume de gaz 𝑉. Sur le côté gauche, le volume 𝑉 au numérateur et au dénominateur s’annulent. Et nous trouvons que la pression 𝑃 est égale à 𝑛 fois 𝑅 fois 𝑇 divisé par 𝑉. L’énoncé de notre problème nous donne des valeurs pour le volume 𝑉, le nombre de moles 𝑛 et la température du gaz 𝑇. Parallèlement à cela, on nous donne une valeur spécifique à utiliser pour la constante des gaz parfaits 𝑅. Nous pouvons donc substituer ces quatre valeurs dans notre équation pour 𝑃.

Notons que dans notre numérateur, les moles s’annulent tout comme les kelvins. Les unités restantes dans cette expression seront équivalentes à l’unité de pression pascal. Lorsque nous calculons cette valeur, nous obtenons une réponse d’environ 26473 pascals. Rappelons à ce stade que 1000 pascals est égal à un kilopascal. Si nous voulons convertir notre réponse en kilopascals, alors nous prenons la virgule et nous la déplaçons d’une, deux, trois rangs vers la gauche. Nous avons alors une pression de 26,473 kilopascals. Notre question nous demande de donner notre réponse à une décimale près. Étant donné que le chiffre deux places après la virgule est supérieur ou égal à cinq, cela signifie que nous allons arrondir à l’excès de sorte que notre réponse finale est 26,5 kilopascals. Il s’agit de la pression créée sur les parois intérieures du récipient en raison du dioxygène gazeux.

Voyons maintenant un autre exemple.

Un nuage de gaz a une pression de 220 kilopascals et une température de 440 kelvins. Le gaz contient 8,2 moles d’une particule avec une masse molaire de 10,5 grammes par mole. Trouvez le volume du nuage. Utilisez 8,31 mètres carrés kilogrammes par seconde kelvin mole pour la valeur de la constante des gaz parfaits. Donnez votre réponse à deux décimales.

Disons que ceci est notre nuage de gaz. On nous donne la pression de ce gaz ainsi que sa température. Et nous savons que ce gaz contient 8,2 moles de la particule qui le compose. Sachant tout cela, nous voulons déterminer le volume, nous l’appellerons 𝑉, du nuage. Nous pouvons commencer à le faire en rappelant la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles 𝑛 d’un gaz.

Cette équation nous dit que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale au nombre de moles de ce gaz multiplié par la constante des gaz parfaits multipliée par la température du gaz. Comme nous l’avons vu dans cet exemple, nous voulons déterminer le volume de gaz. En divisant les deux côtés de notre équation par la pression du gaz 𝑃, nous annulons ce facteur à gauche. Et nous voyons que le volume de gaz 𝑉 est égal à 𝑛 fois 𝑅 fois 𝑇 divisé par 𝑃.

Nous allons supposer que notre nuage de gaz est un gaz parfait et est donc décrit par cette équation. Nous pouvons maintenant passer à l’insertion de ces quatre valeurs à droite de cette équation. 𝑛 est égal à 8,2 moles. La constante des gaz parfaits 𝑅 est de 8,31 mètres carrés kilogrammes par seconde carrée kelvin mole, la température du gaz est de 440 degrés kelvins et la pression du gaz est de 220 kilopascals. Nous sommes presque prêts à calculer 𝑉. Mais avant cela, nous voulons convertir les unités de pression de kilopascals à pascals. Nous faisons cela pour que toutes les unités de cette expression soient sur la même base.

Rappelons q’un kilopascal équivaut à 1000 pascals. Donc, si nous prenons ce nombre et le multiplions par 1000, le nombre résultant 220000 sera notre pression en pascals. Maintenant, lorsque nous calculons cette fraction, nous obtenons un résultat en mètres cubes. En calculant cette expression, nous trouvons un résultat de 0,136284 mètres cubes. Notez cependant que nous devons donner notre réponse arrondie à deux décimales près. À ce niveau de précision, notre volume est de 0,14 mètre cube. C’est le volume de notre nuage de gaz. Et notez que nous n’avons pas besoin d’utiliser la masse molaire du gaz pour résoudre ce problème. Savoir combien de moles de gaz composait le nuage était suffisant.

Voyons maintenant un dernier exemple.

Un gaz composé de 25,6 moles de carbone remplit un volume de 0,128 mètre cube et a une pression de 135 kilopascals. Trouvez la température du gaz. Utilisez une valeur de 12,0107 grammes par mole pour la masse molaire du carbone et de 8,31 mètres carrés kilogramme par seconde carrée kelvin mole pour la valeur de la constante des gaz parfaits. Donnez votre réponse au kelvin le plus proche.

Disons que c’est notre gaz à l’intérieur du volume donné. Connaissant ce volume ainsi que la pression du gaz et le nombre de moles de gaz présent, nous voulons déterminer la température du gaz ; nous l’appellerons 𝑇. Pour commencer à faire cela, nous pouvons rappeler la loi des gaz parfaits. Cette loi, écrite ici en fonction du nombre de moles de notre gaz parfait, dit que si nous multiplions la pression et le volume d’un gaz parfait, alors ce produit est égal au nombre de moles du gaz multiplié par ce qu’on appelle la constante des gaz parfait multiplié par la température du gaz.

C’est la température de notre gaz que nous voulons déterminer. Donc, nous allons réorganiser cette équation pour faire de 𝑇 le sujet. En divisant les deux côtés de l’équation par 𝑛 fois 𝑅, ces deux facteurs s’annulent à droite. Nous voyons alors que la température d’un gaz parfait est égale à sa pression multipliée par son volume divisé par le nombre de moles du gaz multiplié par la constante des gaz parfait.

Dans notre énoncé du problème, on nous donne des valeurs pour tous les facteurs qui apparaissent à droite de cette équation. La pression du gaz 𝑃 est de 135 kilopascals ; son volume 𝑉 est de 0,128 mètres cubes. Il y a 25,6 moles de gaz 𝑛. Et la constante des gaz parfaits 𝑅 est de 8,31 mètres carrés kilogrammes par seconde carrée kelvin mole. Avant de calculer 𝑇, nous voulons changer les unités de pression de kilopascals à pascals. Nous allons faire ce changement afin que toutes les unités de cette expression soient homogènes. Autrement dit, elles seront exprimées en unités qui sont ou peuvent être directement converties en unités de base SI.

Nous savons qu’un kilopascal équivaut à 1000 pascals. Par conséquent, pour convertir des kilopascals en pascals, nous multiplierons 135 par 1000. Nous constatons que, en pascals, notre pression est de 135000 pascals. Nous sommes maintenant prêts à calculer la température 𝑇. Si nous arrondissons notre réponse au nombre entier le plus proche, c’est-à-dire au kelvin le plus proche, nous obtenons un résultat de 81 kelvin. C’est la température du gaz.

Notez que pour trouver cette température, nous n’avons pas besoin d’utiliser la masse molaire de ce gaz. En fait, nous avons pu déterminer la température en utilisant les autres informations données.

Résumons maintenant cette leçon en quelques points clés. Dans cette vidéo, nous avons appris une équation pour la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles du gaz. Cette équation nous dit que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale au nombre de moles du gaz multiplié par ce qu’on appelle la constante des gaz parfaits multipliée par la température du gaz.

La constante des gaz parfaits 𝑅 est approximativement égale à 8,31 joules par kelvin mole. Écrit en unités de base SI, cela équivaut à 8,31 mètres carrés kilogrammes par seconde carrée mole kelvin. Enfin, à travers une série d’exemples, nous avons vu que la loi des gaz parfaits nous permet de déterminer les propriétés générales d’un gaz, la pression, le volume et la température du gaz.

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