Transcription de la vidéo
Un corps pesant huit newtons s'appuie sur un plan horizontal rugueux. Une force de six racine de deux newtons agit sur le corps de sorte que sa ligne d'action forme un angle de 45 degrés vers le bas par rapport à l'horizontale. Sachant que, comme résultat, le corps est sur le point de se déplacer, déterminez le coefficient de frottement 𝜇 entre le corps et le plan et l'angle de frottement 𝜆 en donnant ta réponse à la minute d'arc près.
Très bien, donc dans ce scénario, on a un corps au repos sur une surface horizontale rugueuse, et on nous dit qu’il y a une force de six racine de deux newtons agissant sur le corps à un angle de 45 degrés vers le bas par rapport à l’horizontale. Cela dit, les deux grandeurs qu’on veut calculer sont le coefficient de frottement 𝜇 entre le corps et la surface et cet angle appelé 𝜆, qui est l’angle de frottement. On revient vers cet angle plus tard. Tout d’abord, concentrons-nous sur le coefficient de frottement 𝜇.
Pour comprendre ce coefficient, on doit connaître toutes les forces qui agissent sur notre corps. Avec la force appliquée de six racine de deux newtons, il y a le poids du corps agissant directement vers le bas, ainsi qu’une force de réaction agissant vers le haut, où ici les longueurs de nos flèches ne sont pas dessinées à l’échelle, et puis il y a la force de frottement qui s’oppose à la composante horizontale de la force de six racine de deux appliquée.
En notant que le poids du corps, qu’on appelle P, est de huit newtons, on libère un peu d’espace pour travailler et commencer notre analyse en notant premièrement que ce corps est au repos. Cela signifie que la somme des forces horizontales agissant sur le corps, où l’on suppose que les forces vers la droite sont positives, est nulle. Et de même, la somme de toutes les forces verticales agissant sur lui est également nulle. On peut donc écrire une équation pour toutes les forces horizontales impliquées. Dans ce qu’on appelle la direction positive, il y a la composante horizontale de notre force de six racine de deux newtons. Laissant de côté les unités, cette force est égale à six fois la racine carrée de deux fois le cosinus de 45 degrés.
Ensuite, l’on soustrait la force de frottement 𝐹, qui est entièrement horizontale. Et puisque notre corps est au repos, la somme de ces forces est nulle. Cela implique que 𝐹 est égale à six racine de deux fois le cosinus de 45 degrés. Et 𝐹, rappelons-nous, est la force de frottement qui est égale au coefficient de frottement 𝜇 multiplié par la force de réaction agissant sur le corps. On peut donc remplacer 𝐹 par 𝜇 fois 𝑅 dans cette équation. Et si on divise ensuite les deux membres par la force de réaction 𝑅, en simplifiant ce facteur à gauche, on obtient maintenant une expression de 𝜇.
Pour évaluer cette expression, on doit savoir quelle est la force de réaction 𝑅 sur notre corps. On peut voir ce que c’est en considérant les forces verticales qui agissent sur elle. Tout comme l’on a fait pour les forces horizontales, on écrit une équation d’équilibre des forces verticales. On a la force de réaction 𝑅 dans le sens positif vers le haut. De cela, l’on soustrait la force poids P, en faisant attention à ne pas oublier la composante verticale de la force de six racine deux newtons. Laissant de côté les unités, c’est six fois racine de deux fois le sinus de 45 degrés. Et comme on l’a dit, notre corps est en équilibre, donc la somme de toutes ces forces est égal à zéro.
En considérant cette expression, on voit que si l’on ajoute P et six racine de deux fois le sinus de 45 degrés aux deux membres, on obtient que 𝑅 est égal à P plus six racine de deux fois sinus 45 degrés. Donc l’on peut prendre le membre de droite de cette expression en remplacer 𝑅 avec. Le coefficient de frottement est alors donné par cette expression. Et si l’on dégage de l’espace pour l’évaluer, on remarque deux choses concernant le membre de droite. Premièrement, le poids P est égal à huit newtons et, deuxièmement, le cosinus et le sinus de 45 degrés sont égaux à la racine carrée de deux sur deux.
En laissant de côté les unités et en remplaçant par ces valeurs, remarquez comment dans notre numérateur, on a la racine carrée de deux fois la racine carrée de deux puis divisée par deux, ce qui donne finalement un. Et la même chose se produit avec deuxième terme de notre dénominateur. Toute la fraction se simplifie alors pour donner six sur huit plus six, soit six sur 14 ou trois sur sept. C’est donc la valeur du coefficient de frottement 𝜇.
Notre prochaine étape consiste à calculer cette grandeur dite l’angle de frottement. Si on revient vers le schéma simplifié de notre corps au repos, on peut imaginer une inclinaison progressive de cette surface. En faisant cela, on sait que le corps au repos se rapproche du point où il commence à glisser en descente. Eventuellement, l’angle d’inclinaison devient assez grand pour que le corps commence à glisser. Juste avant que notre corps commence à glisser, l’angle d’inclinaison à ce moment-là est appelé l’angle de frottement. C’est à ce moment-là que la force de frottement statique, agissant dans la direction du plan incliné vers le haut, équilibre exactement la composante du poids qui agit vers le bas suivant le plan incliné.
Comme il est énoncé dans la donnée du problème, c’est cet angle 𝜆 qu’on veut calculer. Pour commencer à faire cela, on adopte la convention selon laquelle la direction des 𝑥 positifs est vers le bas suivant la pente et la direction des 𝑦 positifs en est perpendiculaire à la pente vers le haut. Dans ce cadre, on peut examiner les forces dans les directions 𝑥 et 𝑦 séparément. En parlant de ces forces, assurons-nous de considérer toutes les forces agissant sur notre corps. En plus du poids et de la force de frottement, il y a une réaction ou une force normale qu’on appelle 𝑅 qui agit également sur le corps. Tout comme son nom même l’indique, cette force est normale ou perpendiculaire au plan incliné. Par conséquent, elle est entièrement dans le sens positif des 𝑦.
Puisque la pente est inclinée à l’angle de frottement, l’on sait que le corps est en équilibre. Cela nous indique que la force résultante agissant sur notre corps est nulle. Concernant les forces dans la direction des 𝑥, on peut voir qu’il y en a deux. Tout d’abord, il y a la composante du poids suivant l’axe des 𝑥 dessinée ici en orange. Et puis il y a la force de frottement, qui agit dans la direction des 𝑥 négatifs. Afin de calculer la composante du poids suivant l’axe des 𝑥, on doit reconnaître que cet angle intérieur dans le triangle rectangle est égal à l’angle d’inclinaison de notre plan. Il s’agit de 𝜆. C’est toujours le cas en fait, même lorsque notre angle n’est pas l’angle de frottement.
Puisque la force poids P est la longueur de l’hypoténuse de ce triangle rectangle, la longueur du côté du triangle opposé à l’angle 𝜆 est égale à P fois le sinus de 𝜆. De cette force, on soustrait la force de frottement. Et encore une fois, puisque le corps est en équilibre, la somme de ces forces est zéro. On peut alors dire que la force de frottement 𝐹 est égale à P fois le sinus de 𝜆 et que cette force de frottement est égale à 𝜇 fois la force de réaction 𝑅. On peut alors remplacer ceci dans notre équation. Maintenant, c’est 𝜆 qu’on veut calculer. En ce qui concerne les autres variables de cette expression, on connait la force poids P et on a calculé le coefficient de frottement 𝜇. Mais on ne connait pas encore la force de réaction 𝑅 pour ce plan incliné. On peut calculer cette force de réaction en considérant les forces qui agissent sur le corps dans la direction des 𝑦.
Ici, on a la force de réaction 𝑅 qui est entièrement dans le sens des 𝑦 positifs. Et puis on a ici la composante du poids suivant l’axe des 𝑦. Tout comme la composante suivant l’axe des 𝑥 de cette force qui est P fois le sinus de 𝜆, la composante suivant l’axe des 𝑦 est P fois le cosinus de cet angle. La somme de ces deux forces nous donne zéro parce que le corps est en équilibre, alors on peut dire que 𝑅 est égal à P fois le cosinus de 𝜆. On peut maintenant remplacer 𝑅. Cela nous donne 𝜇 fois P fois le cosinus de 𝜆 égal à P fois le sinus de 𝜆. Notons que le poids apparaît dans les deux membres alors il se simplifie.
Ensuite, l’on divise les deux côtés par le cosinus de 𝜆, simplifiant ce facteur à gauche. Et puis, remarquons ce qu’on a dans le membre de droite, le sinus d’un angle divisé par le cosinus de ce même angle. Cela correspond à la tangente de cet angle. On peut alors écrire que 𝜇, le coefficient de frottement, est égal à la tangente de 𝜆, l’angle de frottement. Cela implique que 𝜆 est égal à l’arc tangente de 𝜇. Ensuite, rappelons que 𝜇 est trois-septièmes. Lorsqu’on calcule l’arc tangente des trois septièmes, et puis on arrondit la réponse qu’on obtient, qui est un angle à la minute près, on obtient un résultat de 23 degrés et 12 minutes. Ainsi, le coefficient de frottement entre le corps et la surface sur laquelle il est au repos est de trois septièmes, et l’angle de frottement, l’angle maximal auquel il peut être inclinée avant de glisser, est de 23 degrés et 12 minutes.
