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Vidéo de question : Simplifier et résoudre des équations impliquant des racines 𝑛-ièmes Mathématiques

Déterminez l’ensemble solution dans ℝ pour (2𝑥 - 1)⁶ = 64.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble solution dans les nombres réels pour deux 𝑥 moins un à la puissance six est égal à 64.

Voyons donc comment nous allons résoudre cette équation pour trouver les valeurs de 𝑥. Sur le membre gauche, nous pouvons voir qu’il 𝑦 a une puissance de six. Et donc la première opération que nous devons effectuer est l’opération réciproque. L’opération réciproque de la puissance sixième est la racine sixième. Lorsque nous prenons la racine sixième des deux membres de cette équation, nous avons deux 𝑥 moins un est égal à plus ou moins la racine sixième de 64.

Notez que nous avons un signe plus et moins devant la racine sixième. C’est parce que pour tout 𝑦 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 et 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels, si 𝑥 est supérieur à zéro et 𝑛 est pair, alors les solutions sont 𝑦 égal à plus ou moins la racine 𝑛-ième de 𝑥. Rappelez-vous que si nous essayons de trouver quelque chose comme la racine sixième de 64, nous essayons vraiment de trouver une valeur 𝑦 telle que 𝑦 à la puissance six est égal à 64. La valeur de 64 est supérieure à zéro. Et notez que la valeur de 𝑛, l’exposant de six, est paire. Et donc la solution doit être 𝑦 égale plus ou moins la racine sixième de 64.

Sur le membre droit alors, nous pouvons déterminer que la racine sixième de 64 est deux. Et nous devons inclure le signe plus ou moins. Nous avons maintenant deux équations : deux 𝑥 moins un est égal à plus deux ou deux 𝑥 moins un égale moins deux. Nous résolvons ces deux équations pour déterminer les différentes valeurs que 𝑥 peut prendre. Pour l’équation de gauche, nous ajoutons un des deux membres de cette équation, ce qui nous donne deux 𝑥 égale trois. En divisant les deux membres par deux, nous avons 𝑥 est égal à trois sur deux. Ensuite, pour résoudre la deuxième équation, nous commencerions également par ajouter un des deux membres, ce qui nous donne deux 𝑥 est égal à moins un. Enfin, en divisant les deux membres par deux, nous avons 𝑥 est égal à moins un demi.

Nous pouvons donner la réponse sous la forme d’un ensemble de solutions sous forme de fractions ou décimaux. En utilisant la forme décimale, nous pouvons dire que la solution de deux 𝑥 moins un à la puissance six égale à 64 est l’ensemble contenant 1,5 et moins 0,5.

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