Vidéo : Permutations et combinaisons Partie 2

Ici, nous expliquons comment utiliser la formule des combinaisons pour calculer le nombre de façons d’organiser les objets lorsque leur ordre n’est pas important.

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Transcription de vidéo

Dans la première partie, nous avons examiné comment trouver le nombre de façons d’organiser les objets et d’utiliser la notation factorielle pour produire une formule à cet effet. Nous avons également examiné le nombre de façons de choisir un certain nombre d’objets dans un ensemble et nous sommes arrivés à la formule de permutations, 𝑛 𝑃 𝑟. Maintenant, nous allons utiliser ces choses pour compter les combinaisons d’objets où l’ordre ne compte pas et nous allons utiliser la formule des combinaisons, 𝑛 𝐶 𝑟 dans quelques exemples.

Rappelez-vous donc que nous avons appris la dernière fois que 𝑛 factorielle signifie 𝑛 fois 𝑛 moins une fois 𝑛 moins deux, et ainsi de suite et ainsi de suite, trois fois, deux fois, jusqu’à la première fois. Ainsi, par exemple, cinq factorielle signifie cinq fois quatre fois trois fois deux fois un. Et nous avons également appris que la formule 𝑛 𝑃 𝑟, formule de permutations, est égale à 𝑛 factorielle sur 𝑛 moins 𝑟 factorielle, donc nous choisissons 𝑟 objets dans un ensemble de 𝑛 objets. Maintenant, nous avons dit que la factorielle nulle est égale à un. Donc, si 𝑛 et 𝑟 s’avérer être égal, cela signifierait qu’avec zéro factorielle sur le fond, nous ferions juste que cela soit égal à un. Eh bien, un exemple de cela est dans la question de savoir comment il existe de nombreuses façons de choisir trois lettres parmi les lettres 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷.

Donc, dans ce cas, 𝑟 serait égal à trois parce que c’est le nombre de lettres que nous choisissons, et 𝑛 serait égal à quatre parce que c’est la taille de l’ensemble de lettres que nous choisissons. Donc 𝑟 serait trois parce que c’est le nombre de lettres que nous choisissons, et 𝑛 serait égal à quatre parce que c’est la taille de l’ensemble de lettres que nous choisissons. Donc, la réponse à la question serait quatre 𝑃 trois, donc c’est quatre factorielle sur quatre moins trois factorielle, ce qui bien sûr est quatre factorielle sur un factorielle. Et quand nous avons réglé cela, nous obtenons une réponse de vingt-quatre. Donc, la chose importante à ce sujet est que l’ordre des lettres était assez important parce que les vingt-quatre combinaisons ici incluent toutes ces combinaisons ici. Et ce sont essentiellement toutes les variations de 𝐴, 𝐵 et 𝐶, il suffit donc d’ajouter les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans des ordres différents. Si peu importe dans quel ordre ils sont, nous pouvons effectivement compter toutes ces différentes combinaisons comme un seul choix, une seule option. Et c’est ce processus que nous allons examiner dans cette vidéo.

Ainsi, comme nous venons de le voir, 𝑛 𝑃 𝑟 nous dit combien de permutations il y a pour choisir 𝑟 objets dans un ensemble de 𝑛 objets. Et encore une fois, comme nous venons de le voir, chaque groupe de 𝑟 lettres - nous avons donc trois lettres dans cet exemple 𝐴, 𝐵 et, 𝐶 — est écrit 𝑟 factorielle façons différentes. Donc, trois façons factorielle différentes. C’est trois fois deux fois un, c’est six façons différentes dans la grande liste. Donc, cette grande liste contient beaucoup de répétitions si vous n’êtes pas vraiment intéressé par ordre dans lequel ils apparaissent. Nous allons donc voir comment travailler combien de combinaisons différentes que nous obtenons lors du choix 𝑟 objets de jeu de 𝑛 objets si nous rejetons tous les différents réarrangements de la même lettre. Alors 𝑛 𝑃 𝑟, comme nous l’avons dit, nous a dit combien de permutations uniques que nous avions, et que la liste inclus 𝑟 répétitions factorielle de groupes de trois lettres. Donc, si nous voulons simplement savoir par exemple combien de groupes de trois lettres, ou 𝑟 lettres, que nous avons dans une réponse finale, alors ce que nous devons faire est de prendre la réponse 𝑛 𝑃 𝑟 et de la diviser par 𝑟 factorielle. Donc nous y sommes, 𝑛 𝐶 𝑟 est 𝑛 𝑃 𝑟 divisé par 𝑟 factorielle. Ainsi, la formule pour 𝑛 𝑃 𝑟, rappelez-vous, était 𝑛 factorielle sur 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Si nous divisons cela par 𝑟 factorielle, alors c’est la même chose que multiplier par un sur 𝑟 factorielle et cela nous donne ici cette formule, 𝑛 factorielle sur 𝑟 factorielle 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Alors rappelez-vous, 𝑛 𝑃 𝑟 compte les permutations où différents ordres du même groupe de lettres comptent séparément, nous avons donc en quelque sorte gardé le double, le triple, le quadruple, etc. Et 𝑛 𝐶 𝑟 compte les combinaisons où différents ordres du groupe sont combinés ensemble. Donc, dans notre dernier exemple, toutes les 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐵, 𝐵𝐴𝐶, etc., qui compteraient comme de multiples permutations dans la formule 𝑛 𝑃 𝑟, mais nous compterions les six variations comme une seule combinaison dans la formule 𝑛 𝐶 𝑟 parce qu’elles forment toutes le même groupe de trois lettres.

Bon, jetons un coup d’œil à quelques exemples.

Donc, si nous avons dix disques étiquetés 𝐴 jusqu’à 𝐽, nous prenons trois disques au hasard et les posons dans l’ordre dans lequel ils ont été sélectionnés. Combien de permutations y a-t-il pour cela ? Donc 𝑛 serait dix dans ce cas, car nous avons un ensemble de dix lettres parmi lesquelles choisir. Et 𝑟 sera trois parce que nous en choisissons trois dans cet ensemble. Maintenant, nous les mettons dans l’ordre, donc 𝐴𝐵𝐶 par exemple ne serait pas équivalent à 𝐶𝐵𝐴 et ainsi de suite, nous voulons donc utiliser la formule 𝑛 𝑃 𝑟.

Et en substituant dans ces valeurs pour 𝑟 et 𝑛, nous avons dix 𝑃 trois, donc c’est dix factorielle sur dix moins trois factorielle. Et cela nous donne dix factorielle sur sept factorielle. Maintenant, évidemment, nous pourrions mettre cela dans notre calculatrice et obtenir notre réponse, mais je suis tout va écrire que dans son intégralité pour un moment. Et quand nous faisons cela, nous pouvons voir que nous pouvons faire beaucoup d’annulations. Donc, sept divisé par sept est un, six divisé par six est un, cinq divisé par cinq est un, quatre divisé par quatre est un, trois divisé par trois est un, et ainsi de suite. Tout cela annule, donc nous nous retrouvons avec seulement dix fois neuf fois huit sur une ou seulement dix fois neuf fois huit. Cela nous donne donc sept cent vingt permutations différentes que nous pouvons obtenir. Voilà donc notre réponse. Maintenant, juste pour mettre en évidence la différence entre 𝑛 𝑃 𝑟 et 𝑛 𝐶 𝑟, rappelez-vous que sept cent vingt comprend pour chaque ensemble de trois lettres comme 𝐴𝐵𝐶 ; nous avons six variations là-dessus. Et si nous sommes prêts à dire qu’ils sont tous équivalents car ce ne sont que des combinaisons des lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶, nous pouvons diviser ces sept cent vingt par six, dans ce cas, trois factorielle parce que nous avions 𝑟 était égal à trois pour calculer le nombre de combinaisons. Il y a donc le calcul pour 𝑛 𝐶 𝑟. Si nous cherchions combien de groupes de trois lettres, la réponse ne serait que cent vingt. Mais la question demandait spécifiquement des permutations et elle disait que l’ordre était important, donc nous nous sommes installés dans l’ordre dans lequel ils ont été sélectionnés. C’est donc la bonne réponse.

Assurez-vous simplement que, sur la page, nous avons mis en surbrillance la bonne réponse correcte, et il est évident que cet autre travail n’était pas simplement une autre estimation de la réponse.

D’accord, regardons ce petit essai pour notre prochaine question.

Dans une loterie, nous choisissons cinq lettres de l’alphabet. Pendant le tirage au sort, une machine charge vingt-six balles, dans chaque sens — chacune porte une des lettres 𝐴 à 𝑍. Il les mélange puis en laisse sortir cinq. Peu importe l’ordre dans lequel ils ont été tirés si nos cinq lettres choisies correspondent aux machines, alors nous gagnons ! Combien de combinaisons de cinq lettres peut-on choisir ? Donc, dans ce cas, l’ordre n’a pas d’importance, nous allons donc utiliser le 𝑛 𝐶 𝑟 combinaison. Et il y a vingt-six lettres de l’alphabet à choisir, donc 𝑛 est égal à vingt-six. Et nous choisissons cinq de ces lettres, donc 𝑟 est égal à cinq. Nous choisissons donc cinq, 𝑟 est égal à cinq, parmi vingt-six, 𝑛 est égal à vingt-six. Et peu importe l’ordre dans lequel ils ont été dessinés, nous utilisons donc la formule 𝑛 𝐶 𝑟 qui est de vingt-six 𝐶 cinq lorsque nous connectons ces valeurs pour 𝑛 et 𝑟. Cela nous donne donc vingt-six factorielle sur cinq factorielle vingt-six moins cinq factorielle, ce qui est vingt-six factorielle sur cinq factorielle vingt et un factorielle. Maintenant, nous pouvons à nouveau il suffit de plaçer ce nombre dans une calculatrice et d’obtenir notre réponse, mais je suis juste va prendre ici et juste un peu partagé ce légèrement un petit pas de plus. Parfois, les nombres que vous obtenez sont trop gros pour fonctionner sur une calculatrice ; mais en repérant certaines choses que vous pouvez annuler, vous pouvez réellement générer des nombres suffisamment petits pour que votre calculatrice puisse encore les gérer. Et ce n’est pas le cas ici. Nous pouvons, vous savez, ce nombre fonctionnerait sur une calculatrice, mais voyons quand même la technique. Donc, je n’ai pas tout à fait la place d’écrire vingt-six factorielle en entier, mais je sais que c’est vingt-six fois vingt-cinq fois vingt-quatre fois vingt-trois fois vingt-deux fois vingt-et-un, etc.. Mais bien sûr, ce bout ici, vingt et un fois tous les nombres en un, n’est que de vingt et un factorielle. Nous avons donc ce genre de choses ici, 21 fois factorielle là-haut, sur le dénominateur. Nous avons 21 facteurs factorielle, donc en fait, ces 21 facteurs factorielle seront annulés. Nous avons donc divisé ce facteur par cinq. Donc, soixante-cinq mille sept cent quatre-vingt, c’est le nombre de combinaisons qui sont là. Donc, si tout cela a été fait au hasard, c’est le nombre de façons différentes de choisir cinq lettres, nous avons donc une chance sur soixante-cinq mille sept cent quatre-vingt de gagner cette loterie en particulier. Maintenant, en passant, si cela importait, si nous devions faire correspondre l’ordre dans lequel les lettres sont également sorties, nous aurions utilisé la formule 𝑛 𝑃 𝑟. Et bien sûr, nous avons des groupes de cinq, donc ça va faire cinq sortes de combinaisons différentes de chaque groupe de cinq lettres, donc la réponse va être cinq fois plus grande que cela : sept millions huit cent quatre-vingt-treize mille six cents. Donc, en réalité, vous avez une chance beaucoup plus faible de gagner à cette loterie particulière, peu importe l’ordre dans lequel les balles sont sorties, mais bien sûr, ce n’est pas la réponse que nous recherchions dans ce cas particulier.

D’accord, enfin, utilisons simplement nos techniques de comptage de combinaisons pour calculer certaines probabilités. Nous avons donc une question ici.

Un sac contient cinq bonbons au chocolat et quinze bonbons aux fraises. Si quelqu’un choisit un bonbon au hasard, trouvez la probabilité qu’il en choisisse un au chocolat ; et si deux personnes choisissent un bonbon, chacune au hasard, trouvez la probabilité qu’elles obtiennent toutes les deux du chocolat. Donc, vraiment, nous avons deux questions, appelons-les 𝐴 et 𝐵. Regardons d’abord le premier. Quelqu’un choisit un bonbon au hasard, trouve la probabilité que ce soit du chocolat. Eh bien, c’est assez simple. La probabilité d’obtenir un bonbon au chocolat est simplement le nombre de façons d’obtenir un bonbon au chocolat divisé par le nombre de façons de choisir un bonbon de toute sorte. Et bien sûr, il y a cinq bonbons au chocolat et puis il y a quinze bonbons aux fraises, c’est donc cinq divisé par cinq plus quinze, de sorte que plus de vingt cinq est. Donc, notre réponse, la probabilité d’obtenir un bonbon au chocolat, est juste de cinq sur vingt. D’accord, regardons la deuxième question. Nous allons maintenant examiner deux méthodes différentes pour répondre à cette question. La première méthode, qui est peut-être celle à laquelle vous avez déjà pensé, nous avons deux événements. Donc, tout d’abord, la première personne obtient un bonbon au chocolat, puis la deuxième personne obtient un bonbon au chocolat. Donc, pour que ces deux choses se produisent ensemble, nous devons avoir l’une et l’autre, nous allons multiplier ces probabilités ensemble. Nous venons donc de comprendre que la probabilité qu’une personne obtienne un bonbon au chocolat est de cinq sur vingt. Et bien sûr, s’ils ont choisi un chocolat sucré, l’un, il y a juste va être quatre bonbons au chocolat à gauche, et l’autre chose, il y aura maintenant seulement dix-neuf bonbons au total pour eux de choisir. Nous allons donc nous retrouver avec cinq vingtièmes que la probabilité de la première personne qui reçoit du chocolat et quatre dix-neuvièmes comme une probabilité de la deuxième personne d’obtenir un chocolat. Multipliez ces deux ensemble, faites un peu d’annulation, et nous en obtenons un de plus de dix-neuf. Encore une fois, la probabilité, vous n’êtes pas va se pénalisé si vous ne résiliez pas ces chiffres vers le bas. Mais dans ce cas, ces trois cent quatre-vingts ont peut-être perdu un peu de sa signification, il est donc probablement plus judicieux d’annuler ces chiffres simples et agréables, un sur dix-neuf. Donc, la deuxième méthode, la probabilité qu’ils obtiennent tous deux du chocolat est le nombre de façons dont deux personnes peuvent choisir le chocolat divisé par le nombre de façons dont deux personnes peuvent simplement choisir n’importe quel bonbon. Ainsi, le nombre de façons que deux personnes peuvent choisir le chocolat est cinq 𝐶 deux qui serait le choix de cinq chocolats, et il y a deux d’entre eux, donc cinq 𝐶 deux est que. Et le nombre de façons dont ils peuvent choisir un bonbon, mais nous avons vingt bonbons au total et il y en a deux, donc le nombre total de combinaisons de façons qu’ils peuvent choisir est de vingt 𝐶 deux. Et si vous faites cela sur votre calculatrice, cinq 𝐶 deux se révèlent être dix et vingt 𝐶 deux se révèlent être cent quatre-vingt-dix, ce qui rassurant lorsque nous annulons nous obtenons la même réponse que nous l’avons fait dans l’autre sens, un sur dix-neuf. Il y a donc une chance sur dix-neuf que les deux obtiennent du chocolat.

Donc, pour résumer ce que nous avons appris au cours de ces deux vidéos, nous avons appris sur 𝑛 factorielle, qui a différentes façons de l’exprimer, mais c’est 𝑛 fois le nombre un plus petit fois le nombre un plus petit, et ainsi et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous en arrivions à un. Et rappelez-vous, nous avons cette définition spéciale de factorielle nulle qui est en fait égale à un ; donc pas entièrement intuitif, mais vous devez vous en souvenir. Nous avons appris les permutations, donc 𝑛 𝑃 𝑟 et les différentes façons de noter que dans différentes régions, 𝑛 factorielle sur 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Maintenant, cela compte chaque réarrangement différent des mêmes groupes que les lettres en tant que cas individuels, donc nous obtenons un assez grand nombre dans ce cas. Mais si nous voulons fusionner tous les différents arrangements des mêmes lettres que nous avons choisies et obtenir une réponse plus petite, nous devons diviser cela par 𝑟 factorielle. Et parce que nous avons toutes ces répétitions des mêmes combinaisons de ces lettres ou objets, nous obtenons des combinaisons ; on obtient la formule 𝑛 𝐶 𝑟. Et il y a encore différentes façons de noter cela, et cela nous donne la formule 𝑛 factorielle sur 𝑟 factorielle 𝑛 moins 𝑟 factorielle.

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