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Vidéo de question : Application de la loi des sinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle. Mathématiques

Le diamètre d'un cercle 𝐴𝐷 est égal à 82 cm. 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont deux cordes opposées par le centre du cercle de longueurs respectives 5,1 cm et 48,4 cm. Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant la réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Le diamètre 𝐴𝐷 d’un cercle mesure 82 centimètres. On a 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, deux cordes du cercle, de part et d’autre de ce diamètre, de longueurs respectives 5,1 centimètres et 48,4 centimètres. Déterminez la longueur de 𝐵𝐶 au centième près.

Il est toujours utile de commencer par faire un dessin. Il n’a pas besoin d’être à l’échelle, mais il doit être à peu près proportionné, ce qui permet de vérifier la pertinence des réponses obtenues. Cet exercice semble difficile au premier abord, mais il existe des théorèmes relatifs aux cercles qui nous faciliteront la tâche.

Tout d’abord, traçons les cordes 𝐵𝐷 et 𝐶𝐷. Pour rappel, un angle sous-tendu par un diamètre mesure toujours 90 degrés. Cela implique que les angles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐴𝐶𝐷 sont tous les deux des angles droits. Nous avons deux triangles rectangles, nous pouvons donc, par trigonométrie dans les triangles rectangles, calculer les angles 𝐴𝐷𝐵 et 𝐴𝐷𝐶. Commençons par le triangle 𝐴𝐵𝐷.

Le côté 𝐴𝐷 est l’hypoténuse du triangle. C’est le côté le plus long, et il se trouve en face de l’angle droit. Le côté 𝐴𝐵 est le côté opposé. C’est le côté opposé à l’angle 𝜃.

Puisque nous connaissons les longueurs du côté opposé et de l’hypoténuse, nous pouvons utiliser le rapport du sinus pour calculer l’angle 𝜃. En utilisant les valeurs fournies, nous obtenons sinus 𝜃 égale 5,1 sur 82. Pour calculer la valeur de 𝜃, nous allons prendre la réciproque du sinus de chaque côté de l’équation. La réciproque du sinus de 5,1 sur 82 est 3,565, donc 𝜃 égale 3,565 degrés. Nous n’arrondirons pas ce nombre pour le moment. À la place, nous utiliserons sa forme exacte dans tous les futurs calculs.

Examinons maintenant le triangle 𝐴𝐷𝐶. Encore une fois, nous connaissons l’hypoténuse de ce triangle et son côté opposé. Nous pouvons remplacer ces valeurs dans le rapport du sinus. Sinus 𝜃 est égal à 48,4 sur 82. Encore une fois, nous prenons la réciproque du sinus de chaque côté de l’équation. La réciproque du sinus de 48,4 sur 82 est 36,174 degrés.

Ensuite, il existe des théorèmes relatifs aux cercles qui nous seront utiles. Nous savons que la somme des angles opposés d’un quadrilatère inscriptible est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc calculer l’angle 𝐵𝐴𝐶 en retranchant de 180 degrés les deux angles que nous venons de trouver. Cela donne 140,259 degrés. Nous savons également que les angles interceptant un même arc sont égaux. Cela implique que l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à l’angle 𝐴𝐷𝐶. Il mesure également 36,174 degrés.

En redessinant le triangle 𝐴𝐵𝐶, nous voyons qu’il s’agit d’un triangle non rectangle dont nous connaissons deux angles et un côté. Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver la longueur de 𝐵𝐶. D’après la loi des sinus, 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵, égale 𝑐 sur sinus 𝐶. Elle s’écrit parfois sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sin 𝐵 sur 𝑏, égale sinus 𝐶 sur 𝑐.

Les deux formes de la loi des sinus peuvent être utilisées. Mais comme nous cherchons la longueur d’un côté, nous utiliserons la première forme. Cela limitera la quantité de calculs à faire. De même, si nous cherchions un angle, nous utiliserions la deuxième forme.

Comme nous connaissons l’angle 𝐴 et que nous cherchons le côté 𝑎, et que nous connaissons l’angle 𝐵 et le côté 𝑏 — c’est-à-dire 𝐴𝐶 — nous utiliserons 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵.

En utilisant les valeurs exactes, nous obtenons 𝑎 sur le sinus de 140,259 degrés, égale 48,4 sur le sinus de 36,174 degrés. Nous pouvons résoudre cette équation en multipliant chaque côté par le sinus de 140,259 degrés. Nous obtenons 𝑎 égale 48,4 sur le sinus de 36,174 degrés, multiplié par le sinus de 140,259 degrés. La calculatrice nous donne 52,423. Au centième près, la longueur 𝐵𝐶 mesure 52,42 centimètres.

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