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Vidéo de la leçon : Équations en une seule étape – multiplication et division Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire et à résoudre des équations de division et de multiplication en une seule étape dans une variété de questions, y compris des problèmes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire et à résoudre des équations de multiplication et de division en une seule étape dans une variété de questions, y compris des problèmes. Avant de commencer ces questions, nous allons nous familiariser avec le vocabulaire clé que nous allons utiliser. Voici quelques-uns des mots clés ou définitions que nous allons utiliser. Tout d’abord, considérons ce que nous entendons par une équation linéaire. Il s’agit d’équations qui donnent une ligne droite lorsqu’elles sont représentées graphiquement. Par exemple, 𝑥 plus deux égale cinq. 𝑥 moins sept égale trois. Deux 𝑥 égale 10. Et 𝑥 divisé par trois égale quatre.

Notez ici que les équations contiennent quatre opérations différentes : addition, soustraction, multiplication et division. Dans le cadre de cette vidéo, nous allons nous concentrerons sur les équations impliquant la multiplication et la division. Cette vidéo ne traitera également que des équations en une seule étape, et non des équations en deux étapes ou en plusieurs étapes que vous pourriez voir plus tard. Une équation en une seule étape est une équation qui n’exige qu’un seul calcul pour être résolue. Dans cette vidéo, encore une fois, il ne s’agira que de multiplication et de division.

Au cours de cette vidéo, nous allons parler des opérations réciproques ou des opérations inverses. Il s’agit d’opérations qui peuvent annuler un calcul. La réciproque ou l’inverse de l’addition est la soustraction. La réciproque de la multiplication est la division, et vice versa. C’est sur ce point clé que nous allons nous concentrer dans cette vidéo. Nous savons que quatre multiplié par trois est 12. Nous savons également que 12 divisé par trois est quatre.

La division des deux membres de la première équation par trois nous donne la deuxième équation. En effet, le trois au côté gauche s’annulera car trois divisé par trois égale un. Et il nous reste quatre égale 12 divisé par trois. N’oubliez pas que tout ce que vous faites à un côté d’une équation, vous devez le faire à l’autre. Nous devons effectuer la même opération des deux côtés du signe égale car cela garantit que l’équation continue d’être équilibrée. Nous avons mentionné au début de la vidéo qu’une partie essentielle sera la résolution des équations. Cela implique de trouver la valeur de 𝑥 ou l’inconnue qui vérifie l’équation.

Nous allons maintenant voir quelques exemples, où le premier consiste à résoudre une équation linéaire de multiplication en une seule étape.

Anthony achète cinq tablettes de chocolat du même genre, chacune au même prix. Si 𝑓 est le prix d’une tablette de chocolat, résous cinq 𝑓 égale 25 pour déterminer 𝑓.

On nous dit dans la question qu’Anthony achète cinq barres de chocolat de même valeur. La lettre 𝑓 représente le coût d’une barre. Par conséquent, le coût de cinq barres est égal à cinq 𝑓. Notre équation est égale à 25. Par conséquent, le coût total des cinq barres est 25. Dans cette question, on ne nous donne pas les unités. Il ne faut donc pas s’inquiéter si 25 est en cents, en pence ou dans une autre monnaie.

On nous a demandé de résoudre l’équation pour déterminer 𝑓. Il s’agit d’un exemple d’équation en une seule étape, car nous n’avons besoin d’effectuer qu’un seul calcul pour résoudre l’équation. N’oubliez pas que lorsque vous résolvez une équation, vous devez effectuer la même opération des deux côtés. Cela permet de maintenir l’équilibre de l’équation. Dans ce cas, nous allons diviser les deux côtés de l’équation par cinq. Nous faisons cela parce que multiplier par cinq et diviser par cinq sont des opérations réciproques ou inverses.

Cinq 𝑓 divisé par cinq égale 𝑓. Les cinq s’annulent l’un par l’autre car cinq divisé par cinq donne un. 25 divisé par cinq égale cinq. Cela signifie que la valeur de 𝑓 dans l’équation cinq 𝑓 égale 25 est cinq. Dans le contexte de cette question, le coût de chaque barre de chocolat est de cinq unités.

Nous allons maintenant voir un deuxième exemple dans lequel nous devons écrire puis résoudre une équation en une seule étape.

James met cinq fois plus de temps qu’Olivia pour aller au travail. Si le trajet de James est de 70 minutes, écrivez une équation pour le temps 𝑥 que met Olivia pour se rendre au travail. Ensuite, résolvez l’équation.

Dans cette question, nous devons écrire une équation puis la résoudre. Dans la question, on nous dit qu’Olivia met 𝑥 minutes pour se rendre au travail. James met cinq fois plus de temps. Cinq fois 𝑥 est cinq 𝑥. Ainsi, James met cinq 𝑥 minutes pour aller au travail. On nous dit aussi que le temps du trajet de James est en fait de 70 minutes. Cela signifie que nous avons une équation linéaire ; cinq 𝑥 égale 70.

Comme nous avons maintenant écrit l’équation, nous pouvons passer à la deuxième partie de la question, qui est de la résoudre. Nous savons que le temps du trajet de James est de 70 minutes. Et nous devons résoudre l’équation cinq 𝑥 égale 70 pour calculer le temps du trajet d’Olivia. Il s’agit d’une équation en une seule étape, car nous n’avons besoin d’effectuer qu’un seul calcul pour la résoudre. N’oubliez pas que nous devons effectuer le même calcul ou la même opération des deux côtés de l’équation. Dans ce cas, nous allons diviser par cinq. La division par cinq est l’inverse ou la réciproque de la multiplication par cinq.

Cinq 𝑥 divisé par cinq égale 𝑥 car cinq et cinq s’annulent. 70 divisé par cinq est 14. Si nous ne pouvons pas faire ce calcul mentalement, nous pourrons utiliser la méthode d’arrêt de bus de division courte. Sept divisé par cinq égale un et il reste deux. Et 20 divisé par cinq égale quatre. Donc, 70 divisé par cinq égale 14. La solution de l’équation cinq 𝑥 égale 70 est 𝑥 égale 14. Nous pouvons donc conclure qu’Olivia met 14 minutes pour se rendre au travail.

Nous pouvons vérifier cette réponse en considérant le temps de James et en multipliant cinq par 14. Comme 70 divisé par cinq était 14, nous savons que cinq fois 14 égale 70. La multiplication et la division sont opposées ou réciproques l’une de l’autre. Le temps de trajet de James était de 70 minutes, ce qui est cinq fois plus long que celui d’Olivia, qui était de 14 minutes.

Nous allons maintenant voir un troisième exemple où nous allons former une équation impliquant deux variables.

Holly peint une chaise de jardin en 12 minutes. Écrivez une équation pour le nombre de chaises 𝑐 qu’elle pourrait peindre en ℎ heures.

Dans cette question, on nous dit qu’Holly peut peindre une chaise en 12 minutes. Cependant, ce qui nous intéresse, c’est le nombre de chaises qu’elle peut peindre en ℎ heures. Examinons tout d’abord combien de chaises Holly pourrait peindre en une heure. Nous savons que 60 minutes équivalent à une heure. Nous devons déterminer le nombre de chaises qu’elle peut peindre en 60 minutes.

Nous pourrions commencer à compter par douze. Holly serait capable de peindre deux chaises en 24 minutes, car 12 plus 12 font 24. En ajoutant 12 de plus, on obtient 36 minutes. Elle peut donc peindre trois chaises dans ce laps de temps. Holly pourrait peindre quatre chaises en 48 minutes et cinq chaises en 60 minutes. Mais vous avez peut-être remarqué immédiatement que 12 multiplié par cinq égale 60. Dans tous les cas, nous pouvons voir qu’Holly peut peindre cinq chaises en 60 minutes ou en une heure.

Nous devons maintenant écrire une équation pour le nombre de chaises 𝑐 qu’elle peut peindre en ℎ-heures. Si Holly peut peindre cinq chaises en une heure, elle pourrait peindre 10 chaises en deux heures, 15 chaises en trois heures, et ainsi de suite. En ℎ-heures, elle pourrait peindre cinq ℎ ou cinq multipliés par ℎ chaises. Notre équation est donc 𝑐 égale cinq ℎ. Nous pourrions alors substituer par des valeurs de ℎ et 𝑐. Nous pourrions substituer par des valeurs de ℎ pour calculer le nombre de chaises peintes en un certain nombre d’heures, ou substituer par des valeurs de 𝑐 pour calculer le nombre d’heures nécessaires pour peindre un certain nombre de chaises.

Notre prochain exemple est un contexte réel impliquant des fractions.

La largeur d’un rectangle est égale à un sixième de sa longueur. Sachant que la largeur du rectangle est de neuf pouces, déterminez sa longueur.

Nous allons répondre à cette question en dessinant d’abord un diagramme, puis en formant une équation linéaire en une étape. Considérons un rectangle dont la largeur est de 𝑊 pouces et la longueur de 𝐿 pouces. On nous dit dans la question que la largeur est un sixième de la longueur. Le mot « de » en mathématiques signifie multiplier. Ainsi, 𝑊 est égale à un sixième multiplié par 𝐿. Cela peut s’écrire comme 𝑊 égale un sixième 𝐿 ou 𝐿 divisée par six.

Dans cette question, on nous dit que la largeur du rectangle est de neuf pouces. Nous pouvons substituer avec cette valeur dans notre équation de sorte que neuf égale un sixième 𝐿. C’est la même chose que neuf égale 𝐿 divisée par six. Afin de résoudre cette équation, nous devons effectuer la même opération des deux côtés du signe égale. Dans ce cas, nous allons multiplier par six car la multiplication par six est l’inverse ou le contraire de la division par six.

Au côté gauche, six fois neuf ou neuf fois six égale 54. À droite, les six s’annulent. Et il ne reste plus que 𝐿. Comme 𝐿 est égale à 54, nous pouvons conclure que la longueur du rectangle est de 54 pouces. Nous pouvons vérifier cette réponse en calculant un sixième de 54. Comme c’est égal à neuf, qui était la largeur du rectangle, nous savons que notre réponse de 54 pouces est correcte.

Nous allons maintenant voir notre dernier exemple pour écrire et résoudre une équation linéaire.

Je prends un nombre, je le divise par trois, puis je le divise par six. Le résultat est deux. Quel est ce nombre ?

Nous pouvons résoudre ce problème de plusieurs façons. Nous allons voir la formation d’une équation linéaire et l’utilisation de machines de fonctions. Nous commencerons par considérer 𝑛 comme étant le nombre. Notre première étape consiste à diviser ce nombre par trois. Nous écrivons généralement cela lorsque nous faisons de l’algèbre comme 𝑛 sur trois. Nous devons ensuite diviser cette réponse par six. C’est la même chose que de multiplier par un sixième, car diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre. En multipliant les numérateurs et les dénominateurs, on obtient 𝑛 sur 18 ou 𝑛 divisé par 18. Diviser un nombre par trois puis par six revient à diviser le nombre par 18.

Dans la question, on nous dit que le résultat ou la réponse est deux. Ainsi, 𝑛 divisé par 18 égale deux. Nous pouvons résoudre cette équation pour 𝑛 en multipliant les deux côtés de l’équation par 18. En effet, la réciproque de la division par 18 est la multiplication par 18. Et nous devons effectuer la même opération aux deux côtés. Au côté gauche, les dix-huit s’annulent, et il nous reste 𝑛. Deux fois 18 égale 36. Le nombre avec lequel nous avons commencé est donc 36. Nous pouvons vérifier cette réponse en divisant d’abord 36 par trois. Cela nous donne 12. En divisant 12 par six, nous obtenons deux. Cela signifie que notre réponse, 36, est correcte.

Comme nous l’avons mentionné au début, une autre méthode consisterait à utiliser des machines de fonctions. Nous commençons avec une entrée de 𝑛, en divisant par trois, puis en divisant par six et en obtenant une sortie de deux. La réciproque ou l’inverse de la division par six est la multiplication par six. L’inverse de la multiplication par trois est la division par trois. Si nous savons que la sortie est de deux, nous pouvons calculer l’entrée en multipliant d’abord par six, puis par trois. Deux fois six égale 12. 12 fois trois égale 36. Cela confirme que notre nombre d’entrée 𝑛 est 36.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. En plus des définitions et du vocabulaire que nous avons vus au début de cette vidéo, nous devons nous rappeler ce qui suit pour résoudre les équations en une seule étape. Tout d’abord, nous devons identifier l’opération réciproque ou inverse. Par exemple, pour résoudre quatre 𝑥 égale huit, nous devons diviser par quatre pour annuler la multiplication par quatre. C’est parce que la multiplication et la division sont des opérations réciproques.

Deuxièmement, nous devons nous assurer que nous faisons l’opération des deux côtés. Cela garantit que l’équation reste équilibrée. Enfin, il est important de vérifier votre réponse par substitution. La solution à l’équation quatre 𝑥 égale huit est 𝑥 égale deux. Nous pouvons vérifier cela en substituant à nouveau par deux dans l’équation. Quatre fois deux égale huit. Si vous vous souvenez de ces trois points clés, cela vous aidera à résoudre n’importe quelle équation en une seule étape impliquant une multiplication et une division.

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