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Vidéo de question : Simplification d’expressions algébriques rationnelles comportant des exposants négatifs à l’aide des lois des propriétés des exposants Mathématiques

Simplifiez (45 ^ (18𝑛) × (63) ^ (- 9𝑛) × 3 ^ (9𝑛)) / (225 ^ (9𝑛) × (21) ^ (- 9𝑛)).

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Transcription de vidéo

Simplifiez 45 élevé à la puissance 18𝑛 multiplié par 63 élevé à la puissance moins neuf 𝑛 multiplié par trois élevé à la puissance neuf 𝑛 le tout divisé par 225 élevé à la puissance neuf 𝑛 multiplié par 21 élevé à la puissance moins neuf 𝑛.

On nous donne une expression exponentielle sous la forme d’une fraction avec diverses bases entières élevées à des puissances qui sont des multiples de 𝑛 au numérateur et au dénominateur. Pour simplifier ceci, nous pouvons utiliser certaines des propriétés ou règles des exposants conjointement à la décomposition des bases en produits de facteurs premiers. Nous commençons par écrire notre expression. Ensuite, nous pouvons utiliser la règle de l’exposant négatif – à savoir que 𝑎 à la puissance moins 𝑝 est égal à un sur 𝑎 à la puissance 𝑝, où 𝑎 est notre base et 𝑝 notre exposant - pour simplifier 63 élevé à la puissance moins neuf 𝑛 et 21 élevé à la puissance moins neuf 𝑛. Si notre exposant est égal à moins neuf 𝑛, alors 63 à la puissance moins neuf 𝑛 est égal à un sur 63 à la puissance neuf 𝑛. De la même façon, 21 élevé à la puissance moins neuf 𝑛 est égal à un sur 21 à la puissance neuf 𝑛.

On rappelle que pour diviser par une fraction, nous inversons puis multiplions. Pour multiplier par une fraction, nous divisons par son dénominateur, alors, 21 élevé à la puissance neuf 𝑛 est maintenant au numérateur et 63 à la puissance neuf 𝑛 est au dénominateur de notre expression. Maintenant que tous nos exposants sont positifs, décomposons nos bases entières en produits de facteurs premiers. Une fois que nous aurons fait cela, nous pourrons regrouper les termes ayant les mêmes bases.

Nos bases sont 45, 21, 225, 63 et bien sûr trois. Nous savons que 45 est égal à neuf fois cinq, ce qui est égal à trois fois trois fois cinq. Cela fait donc trois au carré fois cinq. 21 est égal à trois multiplié par sept que l’on ne peut décomposer plus. 225 est égal à trois fois trois fois cinq fois cinq. Cela fait trois au carré fois cinq au carré. 63 est égal à neuf fois sept. Cela donne trois fois trois fois sept, soit trois au carré fois sept. Bien entendu, la base trois est son propre facteur premier.

Nous avons donc maintenant au numérateur trois au carré fois cinq, soit 45, élevé à la puissance 18𝑛 multiplié par trois fois sept, soit 21, élevé à la puissance neuf 𝑛 multiplié par trois élevé à la puissance neuf 𝑛, le tout sur trois au carré multiplié par cinq au carré, soit 225, élevé à la puissance neuf 𝑛 multiplié par trois au carré fois sept, soit 63, à la puissance neuf 𝑛.

En libérant un peu d’espace, nous voyons que nous avons des produits élevés à des puissances aussi bien au numérateur qu’au dénominateur et nous pouvons donc utiliser la règle de la puissance d’un produit pour les séparer. Le premier terme de notre numérateur, qui est trois au carré multiplié par cinq, le tout élevé à la puissance 18𝑛, devient trois au carré à la puissance 18𝑛 multiplié par cinq élevé à la puissance 18𝑛. Le deuxième terme de notre numérateur, qui est trois fois sept à la puissance neuf 𝑛 devient trois à la puissance neuf 𝑛 multiplié par sept à la puissance neuf 𝑛, que nous multiplions par notre troisième terme, trois à la puissance neuf 𝑛. De même, nous avons au dénominateur trois au carré à la puissance neuf 𝑛 multiplié par cinq au carré à la puissance neuf 𝑛 multiplié par trois au carré à la puissance neuf 𝑛 multiplié par sept à la puissance neuf 𝑛.

À ce stade, nous voyons que nous avons un facteur commun au numérateur et au dénominateur à savoir sept à la puissance neuf 𝑛. Donc, si nous divisons en haut et en bas par ce terme, ceux-ci se simplifient en un. Nous pouvons ensuite appliquer la règle d’une puissance élevée à une puissance au terme de base cinq situé au dénominateur. Cela nous donne que cinq élevé à la puissance deux élevé à la puissance neuf 𝑛 est égal à cinq élevé à la puissance deux fois neuf 𝑛, ce qui est cinq à la puissance 18𝑛. Si nous réécrivons cela dans notre dénominateur, nous voyons que nous avons maintenant un facteur commun, à savoir cinq élevé à la puissance 18𝑛, à la fois au numérateur et au dénominateur. En divisant le numérateur et le dénominateur par cinq élevé à la puissance 18𝑛, ils deviennent tous deux égaux à un. Toutes nos bases sont maintenant des trois.

Si nous introduisons maintenant au numérateur la règle du produit pour les exposants, à savoir que 𝑎 à la puissance 𝑝 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑞 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑝 plus 𝑞, nos deux termes de droite nous donnent trois élevé à la puissance neuf 𝑛 plus neuf 𝑛, qui est trois à la puissance 18𝑛. Puis, à notre dénominateur, la même règle nous donne trois au carré à la puissance neuf 𝑛 plus neuf 𝑛, qui est trois au carré à la puissance 18𝑛. Nous avons donc maintenant trois au carré à la puissance 18𝑛 multiplié par trois à la puissance 18𝑛 divisé par trois au carré à la puissance 18𝑛. Alors maintenant, si nous divisons le numérateur et le dénominateur par trois au carré élevé à la puissance 18𝑛, ceux-ci deviennent tous deux un et nous nous retrouvons avec trois élevé à la puissance 18𝑛. L’expression donnée peut donc être simplifiée en trois élevé à la puissance 18𝑛.

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