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Vidéo de question : Dériver des fonctions polynomiales Mathématiques

Déterminez la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 = 2𝑥 (9𝑥² - 3𝑥) + 10𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 égale deux 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus 10𝑥.

La première étape à suivre est de développer nos parenthèses. Pour ce faire, ce que nous allons faire, c’est multiplier deux 𝑥 par chaque terme. Nous allons donc commencer avec deux 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré, ce qui donne 18𝑥 au cube. Et puis, on va avoir deux 𝑥 multiplié par moins trois 𝑥. C’est très important ici de nous assurer que nous incluons le signe. C’est moins, donc deux multiplié par moins trois 𝑥. Notre prochain terme va être moins six 𝑥 au carré. Et enfin, nous ajoutons notre 10𝑥.

D’accord, super. Nous avons donc maintenant la fonction 𝑦 égale 18𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré plus 10𝑥. Alors, maintenant que nous avons développé les parenthèses, nous pouvons réellement dériver chacun de nos termes individuellement. Mais, avant de faire cela, rappelons-nous comment nous calculons les dérivées.

Si nous avons une fonction sous la forme 𝑎 𝑥 à la puissance 𝑏, alors la dérivée de cette fonction va être égale à 𝑎 𝑏 𝑥 à la puissance 𝑏 moins un. Nous avons multiplié l’exposant par le coefficient. Et puis nous avons diminué l’exposant de un. Nous obtenons donc 𝑎 𝑏 𝑥 à la puissance 𝑏 moins un. D’accord, super. Alors maintenant, nous avons en quelque sorte récapitulé cela. Utilisons cela pour dériver chacun de nos termes.

Donc, on va les traiter terme à terme, juste pour pouvoir voir exactement ce que chacun de nos termes va donner. Donc, tout d’abord, si nous dérivons 18𝑥 au cube, cela va être égal à 18 multiplié par trois. C’est le coefficient multiplié par l’exposant. Et puis 𝑥 à la puissance trois moins un, ce qui nous donne 54𝑥 au carré. D’accord, super. Nous avons trouvé notre premier terme de la dérivée. Il convient également de noter à ce stade, que l’on a écrit notre dérivée première comme 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Mais vous pouvez également voir les notations 𝑦 prime ou 𝑓 prime de 𝑥. Ils ont tous la même signification. C’est la dérivée première.

D’accord, super. Alors maintenant, passons à notre deuxième terme. Donc, pour notre deuxième terme, nous allons dériver moins six 𝑥 au carré. On a gardé le signe moins car c’est en fait le signe qui correspond à ce terme. Cependant, cela n’affectera pas réellement la dérivation. Et cela va nous donner moins six multiplié par deux parce que c’est encore une fois notre coefficient multiplié par notre exposant. Et puis 𝑥 à la puissance deux moins un parce que nous réduisons de un notre exposant, ce qui nous donne moins 12𝑥. Super. Nous avons trouvé notre deuxième terme.

Nous pouvons donc maintenant passer à notre dernier terme. Eh bien, notre dernier terme va nous donner plus 10. Et puis, juste pour nous rappeler comment nous avons obtenu cela, nous avons 10 multiplié par un parce que nous avons notre coefficient 10. Et puis l’exposant sera un, si on a juste 𝑥. Et donc on obtient 𝑥 à la puissance un moins un. Et si vous y réfléchissez, cela nous donne 𝑥 à la puissance zéro. Et nous savons que tout nombre à la puissance zéro est égal à un. Donc, il ne nous reste plus que 10.

Nous pouvons donc dire que la dérivée première de la fonction 𝑦 égale deux 𝑥 multipliée par neuf 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus 10𝑥 est égale à 54𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 10.

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