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Vidéo de question : Calcul de la distance entre deux fentes avec des grandeurs supplémentaires Physique

Des rayons lumineux de longueur d’onde 636 nm sont envoyés sur une plaque percée de deux fentes parallèles. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, situé à 1,08 m et sur lequel on observe un motif de franges claires et sombres. On trace une droite L perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite L coupe l’écran au niveau de la frange centrale brillante du motif. Sur l’écran, la distance entre la droite L et le centre de la frange la plus proche de la frange centrale est de 6,11 cm. Quelle est la distance entre les fentes ? Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

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Transcription de vidéo

Des rayons lumineux de longueur d’onde 636 nanomètres sont envoyés sur une plaque percée de deux fentes parallèles. La lumière issue des fentes est projetée sur un écran parallèle à la plaque, situé à 1,08 mètres et sur lequel on observe un motif de franges claires et sombres. On trace une droite L perpendiculairement à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite L coupe l’écran au niveau de la frange centrale brillante du motif. Sur l’écran, la distance entre la droite L et le centre de la frange la plus proche de la frange centrale est de 6,11 centimètres. Quelle est la distance entre les fentes ? Donnez la réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.

Une fois que nous aurons dessiner le schéma du montage, il faudra principalement utiliser la trigonométrie ici, mais la difficulté du problème est d’abord de bien représenter la situation. Suivons l’énoncé, étape par étape. Des rayons lumineux de longueur d’onde 636 nanomètres sont envoyés sur une plaque percée de deux fentes parallèles. La lumière issue des fentes arrive sur un écran parallèle à la plaque, situé à 1,08 mètres et sur lequel on observe un motif de franges claires et sombres. Une ligne L est perpendiculaire à la surface de la plaque et à la direction des fentes. La droite L coupe l’écran au niveau de la frange centrale brillante du motif.

Alors, dans la phrase suivante, les choses peuvent devenir un peu plus complexes. Sur l’écran, la distance entre la droite L et le centre de la frange la plus proche de la frange centrale est de 6,11 centimètres. Pour voir exactement ce que cela signifie, faisons un zoom sur la zone où la droite L coupe la frange centrale. La frange centrale brillante est celle-ci et sur le zoom, il s’agit de celle-ci, la frange qui est directement en face du centre des deux fentes ici.

Comme la droite L est exactement perpendiculaire au centre des fentes, cela signifie que la droite L coupe la frange brillante centrale et plus précisément le centre de la frange brillante centrale. C’est un point important à noter car lorsqu’on veut mesurer des distances entre les franges lumineuses, il faut effectuer les mesures à partir du centre de ces franges lumineuses, car ce sont les zones les plus distinctes et les plus faciles à mesurer.

Donc, dans cette phrase, on nous dit que sur l’écran la distance entre la droite L et le centre de la frange la plus proche de la frange centrale est de 6,11 centimètres et cela fait référence à la distance entre le centre de la frange centrale et la centre de l’autre frange brillante la plus proche, que ce soit la frange brillante la plus proche de la frange centrale au-dessus ou en dessous. Les distances sont les mêmes. Et les calculs seront les mêmes quelles que soient les franges choisies. De manière arbitraire, nous allons donc choisir la frange brillante du dessus.

Dans l’énoncé, on nous dit que la distance entre le centre de ces deux franges est de 6,11 centimètres. Alors, nous avons réalisé ce schéma selon les informations de l’énoncé et maintenant il s’agit de déterminer la distance entre les fentes. Nous allons maintenant faire un autre schéma un peu plus grand pour représenter la distance entre les fentes. Nous allons donc effacer une partie de l’énoncé. Alors, nous avons la plaque avec les deux fentes et nous appellerons 𝑑 la distance entre les fentes.

Lorsque cette onde lumineuse passe par les fentes, elle est divisée en deux et elle crée le motif d’interférence observé sur l’écran en face de la plaque et des fentes. Ce que nous allons faire, c’est déterminer laquelle de ces ondes lumineuses produit la frange la plus proche de la frange centrale, qui est située à 6,11 centimètres de la frange centrale. Nous représentons cela par deux ondes lumineuses sortant des fentes avec un certain angle. En traçant des droites parallèles qui passent par les fentes, alors nous pouvons déterminer cet angle, que nous appellerons 𝜃, pour les ondes lumineuses provenant des fentes en haut et en bas.

Alors, ce n’est pas complètement vrai, car les rayons formant la première frange brillante à côté de la frange brillante centrale ont une trajectoire légèrement différente, ce qui signifie que les angles sont aussi légèrement différents. Mais la différence est si faible que l’on peut en fait considérer que les angles ont la même valeur 𝜃. Alors, nous allons être malin et utiliser nos connaissances sur les modèles d’interférences et plus particulièrement sur les interférences constructives.

Les interférences constructives se produisent lorsque la différence de marche (ou de chemin optique) entre deux ondes avec la même longueur d’onde 𝜆 est 𝑛𝜆, où 𝑛 est un entier. La différence de marche correspond effectivement à la différence de longueur de chemin (optique) suivi par les deux ondes. Dans le cas de la frange brillante centrale, la différence de marche est en fait nulle, puisque les deux ondes parcourent la même distance depuis les fentes, ce qui signifie que la frange brillante centrale correspond à 𝑛 égal zéro, ce qui signifie qu’il n’y a pas de différence de marche, puisque bien sûr zéro fois 𝜆 vaut zéro.

Mais regardons maintenant le cas de la frange la plus proche de la frange centrale. Comme il s’agit de la frange brillante suivante, 𝑛 est égal à un, ce qui signifie que la différence de marche est un fois 𝜆, ou simplement 𝜆.

Maintenant que nous savons cela, revenons à notre schéma ici. En supposant que ces deux ondes lumineuses se dirigent vers la première frange brillante à partir de la frange centrale, qui rappelons-le est celle-ci, nous savons que la différence de marche entre ces deux ondes lumineuses est égale à 𝜆. Et nous savons que cette différence de marche correspond à l’onde du dessous car elle doit parcourir une distance plus grande. Ce point est important car maintenant nous pouvons créer un triangle rectangle de côté 𝑑 et 𝜆, en traçant une droite depuis la fente en haut, perpendiculairement à la différence de marche.

Donc, nous connaissons la valeur de 𝜆, qui vaut 6,36 nanomètres. Mais pour déterminer 𝑑 en utilisant ce triangle et les formules de trigonométrie associées, il faut connaître un angle. Et ça tombe bien, nous connaissons déjà cet angle ici. Il s’agit en fait de 𝜃. Donc, si nous pouvons déterminer la valeur de 𝜃, nous pouvons l’utiliser avec la longueur d’onde pour trouver la valeur de 𝑑.

Et pour déterminer 𝜃, nous allons utiliser une autre astuce impliquant cette droite L. L est une droite qui est perpendiculaire au centre des fentes, qui ressemble à ceci sur le schéma ci-dessus. Comme ces deux angles ont des mesures assez proches pour être considérés égaux, avec une valeur 𝜃, si nous dessinons une onde lumineuse depuis le centre des fentes jusqu’à la frange brillante la plus proche de la frange centrale brillante, l’angle créé sera aussi 𝜃. Et nous pouvons déterminer cet angle puisque nous connaissons la longueur L, qui vaut 1,8 mètres, qui est la distance entre la plaque et l’écran, et nous connaissons la distance entre le centre de la frange brillante centrale et la première frange brillante. Avec cela, nous obtenons un triangle rectangle, ce qui nous permet d’utiliser la relation qui dit que la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent.

Le côté opposé vaut 6,11 centimètres et le côté adjacent, L, vaut 1,08 mètres. Pour nous faciliter la tâche, nous allons convertir les centimètres en mètres en les divisant par un mètre sur 100 centimètres. Les centimètres se simplifient et nous obtenons 6,11 fois 10 puissance moins deux mètres. Nous pouvons alors remplacer ces valeurs et diviser 6,11 fois 10 puissance moins deux mètres par 1,08 mètres, ce qui nous donne environ 5,657 fois 10 puissance moins deux.

Nous pouvons alors déterminer l’angle 𝜃 en prenant l’inverse de la tangente des deux côtés et avec la calculatrice, nous pouvons calculer que l’inverse de la tangente de 5,657 fois 10 puissance moins deux mètres vaut environ 3,238 degrés. Bien sûr, il ne s’agit pas d’une valeur exacte, donc nous n’allons pas faire d’arrondi avant d’obtenir le résultat final.

Maintenant que nous connaissons 𝜃 et 𝜆, nous pouvons trouver 𝑑 en utilisant le sinus. Dans un triangle rectangle, sin 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé de l’angle 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse. Le côté opposé de l’angle 𝜃 est 𝜆, et l’hypoténuse est 𝑑. En remplaçant ces valeurs, nous avons sin 𝜃 égal à 𝜆 sur 𝑑. Nous cherchons à déterminer 𝑑. Multiplions donc les deux côtés par 𝑑 afin de simplifier le dénominateur du côté droit. Cela nous donne 𝑑 sin 𝜃 est égal à 𝜆. Alors, pour obtenir 𝑑, divisons maintenant les deux côtés par sin 𝜃. Cela permet de simplifier le sinus de 𝜃 sur le côté gauche et il nous reste 𝑑 égal à 𝜆 sur sin 𝜃. 𝜆 vaut 6,36 nanomètres. Et nous avons déjà déterminé que 𝜃 vaut 3,238 degrés.

Comme nous voulons la réponse en notation scientifique, il vaut mieux mettre également la valeur de 𝜆 en notation scientifique. Les nanomètres correspondent à 10 puissance moins neuf mètres, ce qui signifie que nous avons 636 fois 10 puissance moins neuf mètres, ou 6,36 fois 10 puissance moins sept mètres en notation scientifique. En utilisant la calculatrice, ce nombre divisé par le sinus de 3,238 degrés, nous donne, en notation scientifique arrondi à deux décimales près, 1,12 fois 10 puissance moins cinq mètres. Il s’agit de la distance entre les fentes.

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