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Vidéo de question : Trouver la moyenne géométrique Mathématiques

Si 𝑥 : 4 = 4 : 𝑦, alors 4 est la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦. Déterminez la moyenne géométrique de (𝑥 + (1/𝑦)) et (𝑦 + (1/𝑥)).

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Transcription de vidéo

Si le rapport de 𝑥 à quatre est égal au rapport de quatre à 𝑦, alors quatre est la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦. Déterminez la moyenne géométrique de 𝑥 plus un sur 𝑦 et 𝑦 plus un sur 𝑥.

Commençons par rappeler la définition d’une moyenne géométrique. La moyenne géométrique de deux nombres 𝑎 et 𝑏, qui doivent avoir le même signe, est la racine carrée de 𝑎𝑏. Nous ne pouvons trouver que la moyenne géométrique de deux nombres qui ont le même signe car si les deux nombres étaient de signes opposés, alors le produit serait négatif. La racine carrée d’un nombre négatif donne un résultat non réel. On nous dit que quatre est la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦, nous savons donc que la racine carrée du produit 𝑥𝑦 est égale à quatre. Explorons également ce rapport pour un instant. On nous dit que le rapport de 𝑥 à quatre est le même que le rapport de quatre à 𝑦.

Si ces deux rapports sont identiques, alors si nous divisons la valeur à gauche de chaque rapport par la valeur à droite, nous obtenons le même résultat. Nous avons donc une équation, 𝑥 sur quatre est égal à quatre sur 𝑦. En multipliant les deux membres de cette équation par les deux dénominateurs de quatre et 𝑦, nous avons 𝑥𝑦 est égal à quatre au carré. Ensuite, en prenant la racine carrée positive de chaque membre de cette équation, nous avons que la racine carrée de 𝑥𝑦 est égale à quatre. Ainsi, nous voyons que quatre est en effet la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦.

Maintenant, on nous demande de trouver la moyenne géométrique de deux autres quantités : 𝑥 plus un sur 𝑦 et 𝑦 plus un sur 𝑥. À condition que ces deux nombres soient de même signe, leur moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit. Il s’agit de la racine carrée de 𝑥 plus un sur 𝑦 multipliée par 𝑦 plus un sur 𝑥. On peut en déduire que ces deux quantités ont le même signe parce que 𝑥 et 𝑦 ont le même signe. Si 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux positifs, alors tous les termes impliqués dans cette expression sont positifs. Nous multiplions donc une valeur positive par une autre valeur positive. Si, au contraire, 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux négatifs, alors un sur 𝑦 et un sur 𝑥 sont également négatifs. Ainsi, tout ce qui se trouve dans l’expression est négatif et nous multiplions deux valeurs négatives ensemble.

Voyons ensuite comment nous pouvons manipuler cette expression et nous commencerons par distribuer les parenthèses. En utilisant la méthode de la double distributivité, nous avons 𝑥𝑦 plus 𝑥 multiplié par un sur 𝑥 plus un sur 𝑦 multiplié par 𝑦 plus un sur 𝑥 multiplié par un sur 𝑦. Chacun des termes au centre de ce développement se simplifie en un. Puis, un sur 𝑥 multiplié par un sur 𝑦 est un sur 𝑥𝑦. Nous avons donc 𝑥𝑦 plus un plus un plus un sur 𝑥𝑦, ce qui se simplifie en 𝑥𝑦 plus deux plus un sur 𝑥𝑦. La moyenne géométrique de ces deux expressions est alors la racine carrée de 𝑥𝑦 plus deux plus un sur 𝑥𝑦.

Maintenant, nous rappelons que nous connaissons la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦, la racine carrée de 𝑥𝑦 égale quatre. Mettre au carré les deux membres de cette équation nous dit que 𝑥𝑦 est égal à 16. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur à 𝑥𝑦 à deux endroits dans notre expression pour la moyenne géométrique, ce qui donne la racine carrée de 16 plus deux plus un sur 16. Il s’agit de la racine carrée de 18 et un seizième ou la racine carrée de 18,0625. Nous pouvons ensuite utiliser la calculatrice pour évaluer ce résultat, cela donne 4,25.

Ainsi, sacahnt que la moyenne géométrique de 𝑥 et 𝑦 est de quatre, nous avons constaté que la moyenne géométrique de 𝑥 plus un sur 𝑦 et 𝑦 plus un sur 𝑥 est de 4,25.

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