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Évaluez sinus 𝜋 sur trois fois cosinus 𝜋 sur trois plus cosinus 𝜋 sur trois fois sinus 𝜋 sur trois.
Pour répondre à cette question, nous devons d'abord calculer sinus 𝜋 sur trois et cosinus 𝜋 sur trois. Puis nous allons remplacer ces valeurs dans l'expression originale. Il convient de noter que l'expression originale peut être simplifiée en deux fois sinus 𝜋 sur trois fois cosinus 𝜋 sur trois. Rappelons que 𝜋 sur trois est égal à 60 degrés. On sait aussi que 60 degrés en position standard se termine dans le premier quadrant, où les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont toutes les deux positives. Ainsi, toutes les fonctions trigonométriques du premier quadrant sont positives, y compris le sinus et le cosinus de 60 degrés.
On va maintenant utiliser nos connaissances sur les triangles rectangles ayant les angles 30-60-90 degrés pour calculer sinus 60 degrés et cosinus 60 degrés. Nous rappelons que l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec des angles 30-60-90 degrés est égale à deux fois la longueur du côté opposé à l'angle de 30 degrés. Nous désignons ces côtés par 2𝑎 et 𝑎. La longueur du côté opposé à l'angle de 60 degrés est la racine carrée de trois fois la longueur du côté opposé à l'angle de 30 degrés. Nous désignons donc ce côté par 𝑎 fois la racine carrée de trois. Nous dessinons maintenant un triangle avec des angles 30-60-90 comme triangle de référence sur notre plan de coordonnées, où l'hypoténuse est le côté final de notre angle de 60 degrés en position standard.
La définition en fonction coordonnées du sinus est 𝑦 sur 𝑟 et celle du cosinus est 𝑥 sur 𝑟, où 𝑟 est la distance entre l'origine et le point 𝑥, 𝑦. Par ailleurs, 𝑟 représente la longueur de l'hypoténuse du triangle de référence. En utilisant un comme valeur de 𝑟, la définition du sinus se réduit à la valeur de 𝑦 et la définition du cosinus se réduit à la valeur de 𝑥. Pour déterminer 𝑥 et 𝑦, on reprend les relations établies entre les longueurs des côtés de tout triangle ayant des angles 30-60-90. Dans ce cas, l'hypoténuse 2𝑎 est égale à un. Par conséquent, en divisant chaque membre de l'équation par deux, on trouve que 𝑎 est égal à un demi. Après avoir déterminé la valeur de 𝑎, on peut déterminer 𝑥 et 𝑦.
En remplaçant par la valeur de 𝑎, on trouve que 𝑥 égale un demi et 𝑦 égale un demi fois la racine carrée de trois, ce qui se simplifie en racine carrée de trois sur deux. Donc, sinus 60 degrés égal racine carrée de trois sur deux et cosinus 60 degrés est égal à un demi. Comme prévu, sinus et cosinus 60 degrés, ou 𝜋 sur trois, ont des valeurs positives. Pour terminer la réponse à la question, on remplace le sinus et le cosinus dans l’expression originale par les valeurs positives que nous avons trouvées. On obtient racine carrée de trois sur deux fois un demi plus un demi fois racine carrée de trois sur deux ou deux fois le produit de la racine carrée de trois sur deux et un demi.
Suivant l'ordre des opérations, on commence par multiplier. La racine carrée de trois sur quatre plus la racine carrée de trois sur quatre égal deux racine carrée de trois sur quatre, ce qui nous donne comme réponse finale la racine carrée de trois sur deux. Finalement, la valeur de sinus 𝜋 sur trois fois cosinus 𝜋 sur trois plus cosinus 𝜋 sur trois fois sinus 𝜋 sur trois égal la racine carrée de trois sur deux.
