Vidéo de la leçon: Calculer le mouvement des ondes Physique

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons parler du calcul du mouvement des ondes. En particulier, nous allons voir comment utiliser les propriétés des ondes pour déterminer leur vitesse de déplacement. Mais aussi, si la vitesse de déplacement d’une onde est connue, on va voir comment suivre un raisonnement inverse pour déduire certaines propriétés de cette onde.

Pour commencer, il est bon de rappeler ce qu’est une onde. Une onde est définie comme une perturbation qui transfère de l’énergie d’un point à un autre. À titre d’exemple, les ondes incluent les ondes sonores que l’on génère lorsque l’on parle, transférant l’énergie sonore d’un point à un autre. Mais aussi, si l’on tient l’extrémité libre d’une corde et qu’on effectue un mouvement rapide avec cette extrémité de haut en bas, on crée alors une perturbation au milieu de la corde. Et de l’énergie est transférée le long de la corde vers la droite. Et puis, bien sûr, comme on l’a vu sur notre écran d’ouverture, on peut également citer l’exemple des vagues à la surface de l’eau qui atteignent le rivage depuis l’océan, transférant l’énergie dans cette direction.

Par ailleurs, il est possible de créer une onde dont la perturbation est de très courte durée. Par exemple, dans le cas où on tient l’extrémité libre de cette corde, si on ne déplace notre main rapidement qu’une seule fois, on ne crée que cette unique perturbation sur la corde. Et, alors qu’elle se déplace le long de la corde, cette perturbation ne se répète pas. Mais, si au lieu de secouer cette corde de haut en bas juste une seule fois, on continue à la secouer de haut en bas de façon répétitive, alors on génère une perturbation en chaque point de cette corde à tout instant. Donc, que l’on ait une onde qui ressemble à ceci, où il n’y a qu’un cycle de l’onde, ou qu’elle se répète sur plusieurs cycles, dans les deux cas, on aura toujours une perturbation qui transfère de l’énergie. Ce sera toujours une onde.

Toutefois, parler des cycles d’une onde conduit à définir l’une des propriétés fondamentales importantes pour une onde. Voici ce qu’on peut dire des cycles d’une onde. Supposons que l’on parte de ce point initial et qu’on suive l’onde sur une certaine distance jusqu’à ce qu’on arrive ici. On peut voir que sur cette distance, l’onde a réalisé un cycle complet. Au début, elle a commencé par augmenter puis elle a atteint une valeur maximale, puis est descendue à sa valeur initiale, puis a continué à diminuer jusqu’à ce qu’elle soit à une valeur minimum, puis est repartie à la hausse jusqu’à ce qu’elle revienne à son point de départ.

Ici, le point de départ ne signifie pas le même point de départ dans l’espace. Mais le même point de départ par rapport à l’onde en tant que perturbation. Si on revient au point de départ de l’onde, on observe qu’à partir de celui-ci, l’onde se déplace vers le haut. Et le point suivant le long de l’onde, où l’onde se déplace exactement de la même manière, est ce point ici. Voici donc ce à quoi on se réfère lorsqu’on dit qu’une onde effectue des cycles. C’est un cycle de l’onde. Et la distance spatiale entre ces deux points s’appelle la longueur d’onde. Les longueurs d’ondes sont généralement représentées par la lettre grecque 𝜆.

Donc, 𝜆, la longueur d’onde, est une distance usuellement mesurée en mètres. La longueur d’onde indique la distance dans l’espace sur laquelle une onde effectue un cycle complet. Écrivons cette définition pour faciliter notre compréhension par la suite. La longueur d’onde est la distance nécessaire à une onde pour se déplacer sur un cycle complet. Pour l’onde que l’on voit à l’écran, on remarque que telle qu’elle est représentée ici, elle passe par une, puis deux, puis trois, puis quatre, puis cinq longueurs d’onde complètes. On pourrait marquer ces points de longueur d’onde sur la courbe comme ceci. Donc, cette onde a traversé cinq cycles complets sur cette distance-là. Ainsi, on pourrait appeler cette distance cinq fois 𝜆, cinq fois la longueur d’onde.

Aussi, on a dit que la longueur d’onde est une distance. Cela signifie que si on représentait des axes au-dessus de cette onde, ils pourraient ressembler à ceci. Sur l’axe vertical, on indique la hauteur de l’onde, par exemple, en unités de mètres, et sur l’axe horizontal, on indique la distance parcourue par l’onde, à nouveau en mètres. Ceci est le genre de graphiques auquel on pourrait s’attendre si on étudiait la longueur d’une onde.

Par ailleurs, il existe une autre propriété pour les ondes qui est aussi importante que la longueur d’onde. Et pour voir cette propriété, au lieu d’indiquer la distance en mètres sur l’axe horizontal, on la remplace par le temps en secondes. Cela change complètement les choses. On ne passe pas de mètres en kilomètres ou en centimètres. En d’autres termes, on ne passe pas d’une distance à une distance. Mais on change carrément le type de variable utilisée d’une distance à un temps.

Voici ce que cela signifie. Avant, on avait une distance sur l’axe horizontal, ce qui indiquait quelque chose comme ça. On pouvait dire qu’à cette distance donnée du point de départ de l’onde, la hauteur de cette onde au-dessus de sa position d’équilibre était cette hauteur ici. C’était donc la conclusion à laquelle on pouvait arriver avec la distance représentée sur notre axe horizontal. Mais maintenant qu’on a le temps en secondes, voici ce que cela signifie. Ici, cet intervalle de temps situé après le début de l’onde peut être qualifié de propagation. Lorsque l’onde se propage sur cet intervalle de temps, que l’on peut appeler Δ𝑡, en fonction de la position de l’onde, on peut voir quelle est la hauteur de l’onde à un moment donné plutôt qu’en un point donné de l’espace.

Le fait que l’onde varie dans le temps, c’est-à-dire que la hauteur des ondes change à différentes valeurs de temps, montre que cette onde est en mouvement. Elle n’est pas immobile. Mais à mesure que le temps passe, l’onde évolue. Elle progresse. Même si l’axe horizontal est passé d’une distance en mètres à un temps en secondes, le concept utilisé précédemment relatif aux cycles d’ondes s’applique toujours à ce graphique. On effectue toujours un cycle complet de l’onde. Si on commence, disons, au point d’origine, puis qu’on arrive ici. Ou de même, si on commence ici et qu’on suit l’onde jusque-là, il s’agit également d’un cycle complet.

Donc, on peut toujours observer des cycles d’ondes. Mais maintenant, au lieu d’observer quelle distance sépare ces cycles, on observe plutôt combien de temps il faut pour effectuer chaque cycle d’ondes. En d’autres termes, la différence entre ce point ici et ce point ici de l’onde dans la direction horizontale n’est plus une distance dans l’espace, mais ce qu’on pourrait plutôt appeler une distance dans le temps. C’est une quantité de temps, un intervalle de temps. C’est la quantité de temps nécessaire à l’onde pour effectuer un cycle complet.

Et pour étudier les ondes en général, ceci est un sujet très intéressant. On souhaite savoir combien de cycles une onde donnée va traverser par unité de temps, par exemple, en une seconde. Et cela nous amène à la deuxième propriété importante des ondes, qui est la fréquence des ondes. Par définition, la fréquence d’une onde correspond au nombre de cycles qu’une onde effectue en une seconde.

Donc, si on revient à notre onde sur ces axes, si cet intervalle de temps était exactement d’une seconde, on voit que l’onde effectue un cycle complet en une seconde de temps. Cela signifie que la fréquence de cette onde est de : un cycle par seconde. Cela peut s’écrire de cette façon. On peut dire que la fréquence de l’onde, généralement représentée par 𝑓 minuscule, est égale à un cycle de l’onde divisé par une seconde. C’est-à-dire que cette onde effectue un cycle toutes les secondes.

Ce rapport d’unités, nombre de cycles par nombre de secondes, peut être écrit d’une autre manière. Un cycle par seconde est appelé hertz, du nom du physicien allemand Heinrich Hertz. En abrégé, on l’écrit Hz avec un H majuscule. Donc, on peut dire que la fréquence de cette onde particulière, qui effectue un cycle d’onde complet en une seconde, est de un hertz. Aussi, on a dit que cette onde, puisqu’elle varie au cours du temps, est une onde en movement. Et une question se pose. À quelle vitesse cette onde se déplace-t-elle? Autrement dit, quelle est la vitesse de cette onde?

Et bien, il s’avère que l’on peut combiner ces deux propriétés d’onde, la longueur d’onde et la fréquence, pour trouver la réponse. On peut commencer ainsi. Si on représente la vitesse d’onde par 𝑠, alors on sait que les unités de cette vitesse seront, selon les unités de base du système international SI, en mètres par seconde. À présent, en considérant ces unités, on sait que les mètres sont les mêmes unités que celles de la longueur d’onde. La longueur d’onde est une distance usuellement mesurée en mètres. De même, en ce qui concerne les unités de un divisé par des secondes, que l’on peut aussi l’appeler inverse de secondes, qui correspondent aux unités de fréquence, à savoir, le nombre de cycles par seconde.

En se penchant sur les unités de vitesse d’onde, on arrive à voir comment il serait possible de combiner la longueur d’onde et la fréquence pour obtenir la vitesse d’onde. Voici comment faire. Si on prend la fréquence d’une onde et qu’on la multiplie ensuite par la longueur d’onde 𝜆, cela revient à multiplier le nombre de cycles d’ondes qui passent en un point donné sur une certaine période de temps par la distance entre les cycles de l’onde. Lorsque l’on multiplie ces deux valeurs ensemble alors, le nombre de cycles s’annule et on se retrouve avec une distance, par exemple en mètres, divisée par un temps en unités de secondes. Et comme vu auparavant, la vitesse des ondes est exprimée dans ces mêmes unités. Et il s’avère que la vitesse de l’onde est égale à la fréquence multipliée par la longueur d’onde.

Et la vitesse de l’onde, 𝑠, traduit la vitesse à laquelle cette perturbation se déplace le long de l’axe du temps. Par exemple, si on laisse écouler un peu plus de temps, notre onde effectuera cette oscillation. Et cela représentera l’onde couvrant une distance de longueur d’onde supplémentaire au cours de cette quantité de temps. Donc, en effet, notre onde est en mouvement, et la vitesse de ce mouvement est déterminée par le produit de la fréquence et de la longueur d’onde. Prenons un moment pour illustrer ceci à travers un exemple.

Quelle est la fréquence de l’onde représentée sur la figure suivante?

On observe sur cette figure ce déplacement en mètres mesuré en fonction du temps en secondes. Et on voit que ce déplacement s’effectue selon un motif en forme d’onde. Il monte puis descend, puis revient à son point d’origine. Et à ce stade, le cycle recommence et l’onde se déplace de nouveau vers le haut, puis revient à son déplacement initial. À partir de ces informations, on cherche à savoir quelle est la fréquence de l’onde.

Pour mieux comprendre cela, on peut rappeler la définition de la fréquence, c’est-à-dire le nombre de cycles que l’onde effectue en une seconde. Selon le graphique, il y a plusieurs façons de trouver la fréquence de cette onde. Une première méthode consiste à déterminer le temps nécessaire à l’onde pour effectuer un cycle, ce qui semble être de 0,5 seconde d’après notre graphique, puis à calculer la fréquence associée.

Une autre méthode consiste à compter simplement le nombre de cycles de l’onde qui s’écoulent en une seconde. On voit ici que cela équivaut à deux cycles complets. Là où, tout à droite de l’axe horizontal, on a une seconde de temps écoulée. Donc, cette onde effectue deux cycles complets en une seconde. En d’autres termes, deux mouvements complets de l’onde se déplaçant de haut en bas après son point de départ initial, puis revenant à ce déplacement d’origine. Ceci est un cycle de l’onde.

Sachant que cette onde effectue deux cycles toutes les secondes, on peut maintenant rappeler que les cycles unitaires par seconde peuvent s’écrire d’une autre manière. Un cycle par seconde est égal à ce qu’on appelle un hertz, Hz en abrégé. Donc, la fréquence de cette onde, qu’on appellera 𝑓, est égale à deux cycles par seconde, ou deux hertz. C’est donc la fréquence de l’onde représentée sur la figure.

Intéressons-nous maintenant à une deuxième question au sujet cette même onde.

Une onde est représentée sur cette figure. Quelle est la longueur d’onde d’une onde dont la vitesse est de 360 mètres par seconde ?

Bien, en regardant ce diagramme, on observe une onde dont le déplacement est tracé en fonction du temps en secondes. On nous dit que cette onde a une vitesse globale, qui est un mouvement dans la direction horizontale, de 360 mètres par seconde. D’après les informations données et ce que l’on peut interpréter depuis le graphique, on souhaite connaître la longueur d’onde.

Or, il existe une relation qui relie la longueur d’onde et la vitesse des ondes, faisant appel à une troisième variable, la fréquence des ondes. Cette relation établit que la vitesse de l’onde 𝑠 est égale à la fréquence de l’onde 𝑓 multipliée par sa longueur d’onde 𝜆. Dans notre cas, cependant, ce n’est pas la vitesse de l’onde que l’on cherche, mais la longueur d’onde. On peut donc réécrire cette équation en divisant les deux côtés par la fréquence.

De cette façon, le terme de fréquence du côté droit s’annule et on voit que la longueur d’onde de l’onde est égale à la vitesse de l’onde divisée par la fréquence de l’onde. Puisque nous connaissons la vitesse de l’onde, on cherche d’abord à connaître sa fréquence pour ensuite déterminer la longueur d’onde. Pour trouver la fréquence de l’onde, étudions à nouveau notre graphique. Si on part de l’origine où le déplacement de l’onde est nul, et qu’aucun temps ne s’est écoulé. Puis, que l’on suit cette onde tout au long d’un cycle complet, on arrive à une valeur de temps de 0.5 secondes.

Rappelons que la fréquence d’une onde est égale au nombre de cycles qu’une onde effectue lorsqu’une seconde s’écoule. Donc, comme on peut le voir pour cette onde particulière, la fréquence est égale à un cycle, puisqu’on effectue un cycle de l’onde, en un temps de 0.5 seconde. On avait déterminé ceci en traçant un cycle complet de l’onde et en voyant combien de temps ceci avait pris.

Ici, si on divise un par 0.5, on obtient alors deux. Ainsi, on peut écrire la fréquence de cette onde comme étant de deux cycles par seconde de temps. D’autre part, on rappelle qu’un hertz est défini comme un cycle par seconde. En écrivant notre fréquence dans cette unité, on a donc deux cycles par seconde, ce qui équivaut à deux hertz. C’est donc cette valeur que l’on va remplacer pour 𝑓 dans notre équation afin de trouver la longueur d’onde 𝜆.

La longueur d’onde de cette onde est alors égale à la vitesse de l’onde, 360 mètres par seconde, divisée par la fréquence de l’onde, deux hertz. On note que si on remplace les hertz par des unités de secondes inverses, ce qui équivaut à un hertz, les unités de secondes inverse au numérateur et au dénominateur s’annulent. On finit par se retrouver avec seulement des mètres, unité de distance, ce qui semble correct vu que l’on cherche une longueur d’onde. Si on calcule cette fraction, on trouve qu’elle vaut 180 mètres. Ceci est la longueur d’onde de l’onde.

Résumons à présent ce que nous avons appris dans cette leçon au sujet du calcul du mouvement des ondes. Pour commencer, on a vu qu’une onde est définie comme une perturbation qui transfère de l’énergie d’un point à un autre. Par ailleurs, on a appris que les ondes sont caractérisées par deux propriétés principales, la longueur d’onde et la fréquence. La longueur d’onde est la distance qu’une onde doit parcourir pour effectuer un cycle complet. La fréquence est le nombre de cycles qu’une onde effectue en une seconde. Pour finir, on a vu que la vitesse d’une onde, représentée par la lettre 𝑠, est égale à la fréquence 𝑓 multipliée par la longueur d’onde 𝜆.