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Vidéo de question : Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une figure composée dessinée sur un quadrillage Mathématiques

Le schéma montre une figure plane homogène. Sachant que le quadrillage est composé de carrés unités, déterminez les coordonnées du centre de gravité de la figure.

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Transcription de vidéo

Le schéma montre une figure plane homogène. Sachant que le quadrillage est composé de carrés unités, déterminez les coordonnées du centre de gravité de la figure.

On commence par remarquer que la figure sur la grille est composée d’un rectangle et d’un demi-cercle comme indiqué. On nous demande de trouver le centre de gravité de la figure. Un moyen de faire ceci est de trouver le centre de gravité du rectangle et du demi-cercle en premier. Comme le quadrillage est composé de carrés unitaires, on commence par trouver les coordonnées des quatre sommets de notre rectangle. Les quatre sommets ont les coordonnées deux, deux ; deux, quatre ; sept, deux ; et sept, quatre.

On sait que le centre de gravité d’un rectangle se trouve au milieu de sa largeur et au milieu de sa hauteur. La coordonnée 𝑥 est la moyenne des quatre abscisses et la coordonnée 𝑦 est la moyenne des quatre ordonnées. Donc la coordonnée 𝑥 est égale à deux plus deux plus sept plus sept, le tout divisé par quatre. Puisque la largeur du rectangle est parallèle à l’axe des 𝑥, cela équivaut à deux plus sept divisé par deux. On doit trouver le milieu de deux et de sept, ce qui est égal à 4,5.

On fait pareil pour trouver la coordonnée 𝑦. Cette fois-ci, on doit trouver la moyenne de deux et quatre. Ce qui est égal à trois. Le centre de gravité du rectangle se trouve au point avec les coordonnées 4,5, trois. Lorsqu’on travaille avec un demi-cercle, trouver son centre de gravité est plus compliqué. Le centre de gravité du demi-cercle dessiné est à une distance de 𝑟 unités le long de la base du demi-cercle depuis le sommet inférieur gauche, où 𝑟 est le rayon du cercle. Le centre de gravité se trouve à une distance ℎ perpendiculaire à la base du demi-cercle comme indiqué, où ℎ est égal à quatre 𝑟 sur trois 𝜋.

Dans cette question, on a que le rayon du demi-cercle est de deux unités. Puisque le sommet inférieur de notre demi-cercle a comme coordonnées sept, un, on peut calculer l’ordonnée du centre de gravité du demi-cercle en ajoutant deux à un. Cela est égal à trois. La valeur de ℎ est égale à quatre multiplié par deux divisé par trois 𝜋, car le rayon est égal à deux. Cela donne huit sur trois 𝜋. La coordonnée 𝑥 du centre de gravité du demi-cercle est donc égale à sept plus huit sur trois 𝜋. Finalement, on a les centres de gravité du rectangle et du demi-cercle. Ensuite, on doit se rappeler comment trouver le centre de gravité d’une forme composée ou d’une lame.

Si on a deux figures avec des aires 𝐴 indice un et 𝐴 indice deux, alors l’abscisse 𝑥 de leur centre de gravité est 𝐴 un 𝑥 un plus 𝐴 deux 𝑥 deux le tout divisé par 𝐴 un plus 𝐴 deux, où 𝑥 un et 𝑥 deux sont les abscisses des centres de gravité des figures individuelles. De la même manière, la coordonnée 𝑦 du centre de gravité est égale à 𝐴 un 𝑦 un plus 𝐴 deux 𝑦 deux le tout divisé par 𝐴 un plus 𝐴 deux, où 𝑦 un et 𝑦 deux sont les ordonnées des centres de gravité individuels.

On a déjà calculé 𝑥 un et 𝑦 un et aussi 𝑥 deux et 𝑦 deux. L’aire du rectangle, 𝐴 un, est égale à cinq unités multipliées par deux unités. Cela est égal à 10 unités carrées.

On peut calculer l’aire de n’importe quel demi-cercle en utilisant la formule 𝜋𝑟 au carré divisé par deux. Dans cette question, on sait que le rayon du demi-cercle est de deux unités. L’aire du demi-cercle est donc égale à deux 𝜋 unités carrées. Il s’agit de notre valeur de 𝐴 deux. Ensuite on peut remplacer les valeurs trouvées pour déterminer le centre de gravité de la figure.

L’abscisse 𝑥 est égale à 10 multiplié par 4,5 plus deux 𝜋 multiplié par sept plus huit sur trois 𝜋, le tout divisé par 10 plus deux 𝜋. En éliminant les parenthèses dans le numérateur on obtient 45 plus 14𝜋 plus 16 sur trois, ce donne 151 sur trois plus 14𝜋. On peut enlever la fraction du numérateur en multipliant chacun des quatre termes par trois. Cela nous donne 151 plus 42𝜋 sur 30 plus six 𝜋. L’abscisse 𝑥 du centre de gravité est égale à 42𝜋 plus 151 divisé par six 𝜋 plus 30.

On trouve l’ordonnée 𝑦 en utilisant la même méthode. Ceci est égal à 10 multiplié par trois plus deux 𝜋 multiplié par trois, le tout divisé par 10 plus deux 𝜋. Même si on peut multiplier 10 par trois et deux 𝜋 par trois, on remarque que les deux termes du numérateur ont un diviseur commun de trois. En factorisant cela, on obtient trois multiplié par 10 plus deux 𝜋 le tout divisé par 10 plus deux 𝜋. En simplifiant 10 plus deux 𝜋 du numérateur et du dénominateur, il nous reste trois. L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la figure est trois.

Il convient de noter à ce stade que notre valeur de 𝑦 un était égale à la valeur de 𝑦 deux. L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité du rectangle et du demi-cercle sont égales à trois. Cela signifie que le centre de gravité de la figure entière sera également trois. On conclut alors que les coordonnées du centre de gravité de la figure sont 42𝜋 plus 151 sur six 𝜋 plus 30, trois.

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