Vidéo : Approximation affine

Dans cette vidéo, nous allons utiliser les dérivées pour déterminer l’équation de la droite qui rapproche la fonction d’une certaine valeur, et utiliser les dérivés pour rapprocher la variation de la fonction.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les dérivées pour déterminer l’équation de la droite qui se rapproche d’une fonction au voisinage d’une certaine valeur. À ce stade, vous devriez pouvoir facilement déterminer la dérivée de la fonction et son application. Dans cette leçon, nous allons étudier l’application de la tangente à la fonction. Et comment cela nous permet de rapprocher des fonctions plus compliquées. Nous verrons ensuite quelques exemples de cette application avec différents degrés de difficulté, et envisagerons l’interprétation géométrique.

Considérons la tangente à la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 au carré au point de coordonnées un, un. Nous pouvons voir que la tangente est proche de la courbe au voisinage du point de tangence, au voisinage de un, un. Si nous faisons un zoom avant sur le graphique et sa tangente au point de tangence, nous voyons qu’il existe un petit intervalle pour chaque côté où les valeurs 𝑦 le long de la tangente donnent une bonne approximation des valeurs 𝑦 de notre courbe. Et plus nous agrandissons le graphique près du point où elle est dérivable, plus le graphique apparaît plat et ressemble plus à sa tangente. Nous pouvons utiliser ce fait pour développer une formule qui peut être utilisée pour donner des approximations pour une fonction 𝑓 de 𝑥.

Rappelez-vous, la formule pour l’équation d’une droite avec un gradient 𝑚 et qui passe par les points 𝑥 un 𝑦 un est 𝑦 un est 𝑦 moins 𝑦 one égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous savons aussi que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, nous indique le gradient de la courbe en un point donné. En particulier, elle nous indique le gradient de la tangente à la courbe en ce point. Nous pouvons dire alors que la tangente à une fonction 𝑓 de 𝑥 en un point 𝑥 égale 𝑎 où 𝑓 est dérivable, passe par le point 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Et le gradient en ce point sera donné par 𝑓 prime de 𝑎.

En substituant ces valeurs dans notre formule pour l’équation d’une droite, nous obtenons 𝑦 moins 𝑓 de 𝑎 égale 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Nous ajoutons 𝑓 de 𝑎 aux deux côtés de notre équation. Et nous obtenons 𝑦 égale 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎 comme équation de la tangente. Formalisons cela un peu. Si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation de la tangente 𝑙 de 𝑥 est donc donnée comme 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Nous appelons cela l’approximation affine de la fonction en 𝑥 égale 𝑎. Voyons l’application de notre définition.

Déterminez l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré plus trois en 𝑥 égale moins deux.

Nous avons ici une fonction polynôme et on nous demande de déterminer son approximation affine en 𝑥 égale moins deux. Rappelez-vous que si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation de la tangente et l’équation qui peut être utilisée pour déterminer une approximation affine de la fonction 𝑥 égale 𝑎 est donnée par 𝑙 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Décomposons ceci petit à petit.

Dans cet exemple, nous voulons déterminer l’approximation affine en 𝑥 égale moins deux. Nous avons donc 𝑎 égale moins deux. Alors 𝑓 de 𝑎 est 𝑓 de moins deux. Et nous pouvons déterminer cette valeur en substituant 𝑥 égale moins deux dans la fonction 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré plus trois. 𝑓 de moins deux est donc moins deux au cube moins moins deux au carré plus trois qui est moins neuf. Ensuite, nous cherchons à déterminer 𝑓 prime of 𝑎.

Nous allons donc commencer par déterminer 𝑓 prime de 𝑥, c’est la dérivée de notre fonction, et l’évaluer en 𝑥 égale moins deux. La dérivée première de notre fonction par rapport à 𝑥 est trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥. Et cela signifie que la dérivée première évaluée en moins deux est donnée par trois fois moins deux au carré moins deux fois moins deux qui est 16. Mais qu’en est-il de cette dernière partie, 𝑥 moins 𝑎 ? Que savons-nous ici ? Eh bien, nous savons que 𝑎 est moins deux. Cela devient donc 𝑥 moins moins deux, ce qui est 𝑥 plus deux.

Nous pouvons substituer chaque partie dans notre équation par 𝑙 de 𝑥. Et nous obtenons moins neuf plus 16 fois 𝑥 plus deux. En faisant une distribution dans notre expression, nous obtenons moins neuf plus 16𝑥 moins de 32. Ensuite, nous simplifions complètement. Et nous voyons que l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins 𝑥 au carré plus trois en 𝑥 égale moins deux est 𝑙 de 𝑥 égale 16𝑥 plus 23. Cela est un exemple très simple pour déterminer l’approximation affine d’une fonction. Il est aussi important de réaliser que nous pouvons utiliser ce même processus pour des fonctions plus compliquées en appliquant les règles de dérivation. Voyons comment cela pourrait se faire.

Quelle est l’approximation de la tangente 𝑙 de 𝑥 de la racine carrée de un moins 𝑥 au voisinage de 𝑥 égale zéro ? Rappelez-vous que si 𝑓 est dérivable en 𝑎, alors l’équation pour l’approximation de la tangente 𝑙 de 𝑥 est donnée par 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Nous allons prendre notre exemple partie par partie. Mais trouvons d’abord 𝑓 de 𝑎. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est la racine carrée de un moins 𝑥. Et nous trouvons que l’approximation de la tangente au voisinage de 𝑥 égale zéro. Nous allons donc considérer 𝑎 égale zéro. Cela signifie que, dans notre expression, 𝑓 de 𝑎 va être 𝑓 de zéro. Et nous pouvons évaluer cela en substituant 𝑥 égale zéro dans notre fonction. Et nous obtenons la racine carrée de un moins zéro ou la racine carrée de un, qui est simplement un.

La partie suivante qui nous intéresse est 𝑓 prime of 𝑎. 𝑓 prime de 𝑥 est la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Nous devrons donc différencier la racine carrée de un moins 𝑥 par rapport à 𝑥. Il faut remarquer ici qu’il s’agit d’une fonction d’une fonction ou d’une fonction composée. Et nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction dans 𝑥, alors d𝑦 par d𝑥 est identique à d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Si nous disons que 𝑦 est la fonction la racine carrée de un moins 𝑥, nous pouvons considérer 𝑢 égale un moins 𝑥 et 𝑦 égale la racine carrée de 𝑢 que j’ai écrite comme 𝑢 à la puissance un demi.

d𝑢 par d𝑥, la dérivée de un moins 𝑥 par rapport à 𝑥, est simplement moins un. Et la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 est un demi fois 𝑢 à la puissance un demi moins un, ce qui est moins un demi. Donc, la dérivée de la racine carrée de un moins 𝑥 par rapport à 𝑥 est un demi fois 𝑢 à la puissance moins un demi fois moins un. En remplaçant 𝑢 par un moins 𝑥, nous voyons que la dérivée de la racine carrée de un moins 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins un demi fois un moins 𝑥 à la puissance moins un demi. Notez, à ce stade, que nous aurions pu utiliser ici la règle générale de puissance. Et ce n’est qu’un cas particulier de la règle de dérivation en chaîne.

Donc, puisque nous connaissons maintenant 𝑓 prime de 𝑥, nous pouvons évaluer 𝑓 prime de 𝑎. C’est 𝑓 prime de zéro. Nous allons donc substituer zéro dans notre formule pour la dérivée de notre fonction. C’est moins un demi fois un moins zéro à la puissance moins un demi qui est moins un demi. La dernière partie de notre approximation de la tangente qui nous intéresse est 𝑥 moins 𝑎. Et puisque 𝑎 est zéro, cela devient 𝑥 moins zéro, ce qui est juste 𝑥.

En substituant tout cela dans notre formule, nous voyons que 𝑙 de 𝑥 égale un plus moins un demi fois 𝑥. Et cela simplifie en un moins 𝑥 sur deux. Nous avons donc vu jusqu’à présent comment la règle de dérivation en chaîne peut être utilisée parallèlement à la formule de l’approximation d’une tangente. Nous pouvons même utiliser l’approximation de la tangente pour traiter des fonctions trigonométriques.

Déterminez l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 sin 𝑥 en 𝑥 égale deux 𝜋.

Rappelez-vous que si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation de l’approximation de la tangente est donnée par 𝑙 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Dans cet exemple, on peut considérer 𝑎 égale deux 𝜋. Nous allons devoir évaluer 𝑓 de 𝑎 et 𝑓 prime de 𝑎. Commençons par 𝑓 de 𝑎. Dans ce cas, c’est 𝑓 de deux 𝜋. Nous substituons donc 𝑥 égale deux 𝜋 dans 𝑥 sin 𝑥. Et nous obtenons deux 𝜋 fois sin de deux 𝜋. Il faut savoir que sin de deux 𝜋 est égal à zéro. Donc 𝑓 de deux 𝜋 est deux 𝜋 fois zéro, qui n’est que zéro.

Maintenant, 𝑓 prime de 𝑎 exige un peu plus de travail. Nous allons déterminer la dérivée de notre fonction. C’est la dérivée de 𝑥 sin 𝑥 par rapport à 𝑥, en remarquant que nous avons une fonction qui est elle-même le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du produit. Celle-ci dit que, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Pour notre fonction, nous considérons 𝑢 égale 𝑥 et 𝑣 égale sin 𝑥.

Nous allons devoir dériver chacune d’elles par rapport à 𝑥. d𝑢 par d𝑥 est un. Et ici, nous rappelons que la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est cos 𝑥. Et nous les substituons dans notre formule pour la règle du produit. Et nous voyons que la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑥 fois cos 𝑥 plus sin 𝑥 fois un. C’est 𝑥 cos 𝑥 plus sin 𝑥. Pour déterminer 𝑓 prime de deux 𝜋, nous allons évaluer ceci lorsque 𝑥 égale deux 𝜋. Cela nous donne deux 𝜋 fois cos de deux 𝜋 plus sin de deux 𝜋. Nous avons déjà dit que sin de deux 𝜋 est zéro. Et le cos de deux 𝜋 est un. Donc 𝑓 prime de deux 𝜋 est deux 𝜋 fois un plus zéro, ce qui est simplement deux 𝜋.

Remplaçons tout ce que nous avons maintenant dans la formule d’approximation de la tangente. 𝑓 de 𝑎 est zéro. 𝑓 prime de 𝑎 est deux 𝜋. Et 𝑥 moins 𝑎 est 𝑥 moins deux 𝜋. Nous distribuons nos parenthèses. Et nous voyons que l’approximation affine de notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 sin 𝑥 en 𝑥 égale deux 𝜋 est deux 𝜋𝑥 moins quatre 𝜋 au carré. Dans nos deux exemples suivants, nous allons voir comment utiliser l’approximation affine d’une fonction pour rapprocher des valeurs.

En trouvant l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre en une valeur appropriée de 𝑥, estimez la valeur de 1.999 à la puissance quatre.

On nous dit d’utiliser l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre. Nous commençons donc par rechercher l’approximation affine, parfois appelée approximation de la tangente. Celle-ci dit que si 𝑓 est dérivable en un certain point donné 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation qui peut être utilisée pour déterminer une approximation affine de la fonction en 𝑥 égale 𝑎 est 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Dans cet exemple, nous allons essayer de rapprocher la valeur de 1.999 à la puissance quatre. Sa valeur sera très proche de deux à la puissance quatre.

Donc, dans notre approximation affine, nous allons considérer 𝑎 égale deux. Cela signifie que 𝑓 de 𝑎 devient 𝑓 de deux. Et nous substituons 𝑥 égale deux dans notre fonction pour obtenir deux à la puissance quatre qui est 16. Ensuite, nous trouvons 𝑓 prime de 𝑎. Premièrement, bien sûr, nous allons devoir déterminer une expression pour la dérivée de 𝑥 à la puissance quatre. Nous commençons donc par dériver 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥. Et nous obtenons quatre 𝑥 au cube. Cela signifie que 𝑓 prime de 𝑎 devient 𝑓 prime de deux, qui devient quatre fois deux au cube. Deux au cube est huit. Donc, cela fait quatre fois huit, soit 32.

Nous substituons tout ce que nous avons maintenant dans notre formule d’approximation de la tangente. Et nous obtenons 𝑙 de 𝑥 égale 16 plus 32 fois 𝑥 moins deux. Et lorsque nous distribuons nos parenthèses, nous voyons que 𝑙 de 𝑥 égale 32𝑥 moins 48. Nous pouvons utiliser cela pour approximer la valeur de 1.999 à la puissance quatre. Nous devons substituer 𝑥 égale 1.999. Et ce faisant, nous obtenons 32 fois 1.999 moins 48, ce qui correspond à 15.968. Une estimation pour la valeur de 1.999 à la puissance quatre est donc 15.968. Maintenant, si nous devions taper 1.999 à la puissance quatre sur notre calculatrice, nous aurions 15.96802399 et ainsi de suite. Nous pouvons donc voir qu’il s’agit d’une très bonne estimation. Et c’est parce que 1.999 est assez proche de deux. Comment pouvons-nous utiliser cela pour évaluer, disons, 2.3 à la puissance quatre ? Notre réponse aurait pu être un peu plus loin.

En déterminant l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥 en une valeur appropriée de 𝑥, estimez la valeur de 𝑒 à la puissance 0.1.

On nous dit d’utiliser l’approximation affine de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥. Nous rappelons donc la formule. Si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation qui peut être utilisée pour déterminer l’approximation affine de la fonction en 𝑥 égale 𝑎 est 𝑙 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Dans cet exemple, nous essayons de rapprocher la valeur de 𝑒 à la puissance 0.1. Cela va être proche de la valeur de 𝑒 à la puissance zéro. Donc, on considère 𝑎 égale zéro. Cela signifie que 𝑓 de 𝑎 est égale à 𝑓 de zéro. Et substituer zéro dans notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 la puissance 𝑥 donne 𝑒 à la puissance zéro qui est un.

Ensuite, nous trouvons 𝑓 prime of 𝑎. Premièrement, bien sûr, nous devons déterminer une expression pour la dérivée de notre fonction. Nous dérivons donc 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. La dérivée première de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc 𝑓 prime de 𝑎 devient 𝑓 prime de zéro, ce qui est 𝑒 à la puissance zéro. Et encore une fois, c’est un. En substituant ce que nous savons dans notre formule pour l’approximation de la tangente, nous voyons que 𝑙 de 𝑥 est égale à un plus un fois 𝑥 moins zéro. Et cela simplifie en 𝑥 plus un.

Nous allons utiliser cela pour rapprocher la valeur de 𝑒 à la puissance 0.1 en trouvant 𝑙 de 0.1. C’est 0.1 plus un qui est 1.1. Et une estimation à la valeur de 𝑒 à la puissance 0.1 est 1.1. Et si nous tapons cela sur notre calculatrice, 𝑒 à la puissance 0.1 est 1.10517 et ainsi de suite. C’est une valeur très proche de notre estimation. Et c’est parce que 0.1 est assez proche de zéro. Si nous avions essayé la valeur la plus grande, notre nombre n’aurait peut-être pas été aussi précis. Vérifions cela.

Par exemple, 𝑙 de 0.3 est 0.3 plus un. Donc, selon notre approximation, 𝑒 à la puissance 0.3 est approximativement 1.3. En tapant 𝑒 à la puissance 0.3 sur notre calculatrice, nous obtenons 1.349858808, qui n’est pas une mauvaise approximation, mais pas aussi proche que celle de 𝑒 la puissance 0.1. Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser des dérivées pour déterminer une approximation d’une tangente pouvant être utilisée pour rapprocher une fonction au voisinage d’une valeur donnée. Si 𝑓 est dérivable en 𝑥 égale 𝑎, alors l’équation qui peut être utilisée pour déterminer une approximation affine de la fonction en ce point est 𝑙 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑎 plus 𝑓 prime de 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎. Nous avons aussi vu que plus la valeur de 𝑥 est proche de la valeur de 𝑎, plus les approximations seront précises.

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