Transcription de la vidéo
Quelles sont les valeurs possibles de huit plus 𝜔 sur huit 𝜔 au carré plus un moins 𝜔 au carré, où 𝜔 est une racine cubique non triviale de l'unité ?
Rappelons tout d'abord qu'une racine cubique de l'unité est un nombre, 𝜔, tel que 𝜔 au cube égale un. Nous précisons de plus que la racine est non triviale, ce qui signifie dans ce cas que 𝜔 ne peut pas être un. En effet, nous savons explicitement que les deux valeurs possibles que 𝜔 peut prendre sont moins un demi plus la racine carrée de trois sur deux 𝑖 ou moins un demi moins la racine carrée de trois sur deux 𝑖. Notons ces valeurs par 𝜔 un et 𝜔 deux.
Nous pouvons résoudre ce problème en prenant ces valeurs et en les substituant directement dans l'expression donnée. Nous pourrions le faire en utilisant le fait que 𝜔 un au carré donne 𝜔 deux et que 𝜔 deux au carré donne 𝜔 un. Seulement, même si nous trouvons la réponse, cette méthode n'est pas idéale, car il faudrait faire beaucoup de simplifications. Par conséquent, il faut d'abord chercher s'il existe une méthode plus simple.
Examinons d'abord l'expression donnée et voyons si elle peut être simplifiée d'une manière ou d'une autre. Nous pouvons remarquer que le numérateur de la fraction a comme coefficients huit et un, tandis que le dénominateur a également comme coefficients huit et un. Cela indique que les deux parties de la fraction sont liées d'une manière ou d'une autre. Pour le montrer, nous pouvons utiliser le fait que, par définition, 𝜔 au cube est égal à un. Nous pouvons donc faire apparaître un 𝜔 au cube au premier terme du numérateur, puisque cela revient à multiplier par un.
Nous pouvons ensuite factoriser par 𝜔 nos termes du numérateur puisque nous avons cet élément en facteur commun. Nous remarquons alors que nous pouvons simplifier par le facteur commun huit 𝜔 au carré plus un. Ainsi, il ne nous reste que 𝜔 moins 𝜔 au carré.
Nous avons maintenant deux cas possibles pour la valeur de cette expression en fonction de la substitution de 𝜔 un ou de 𝜔 deux. Pour 𝜔 un, qui est moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖, nous avons 𝜔 un moins 𝜔 un au carré, ce qui, du fait que 𝜔 un au carré donne 𝜔 deux, est égal à 𝜔 un moins 𝜔 deux, qui est moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖 moins moins un demi moins racine trois sur deux 𝑖. Nous constatons que les parties réelles vont s'annuler et que les parties imaginaires se combinent entre elles, nous donnant juste la racine carrée de trois fois 𝑖.
Dans le deuxième cas, nous remplaçons 𝜔 par 𝜔 deux. Ainsi, nous avons 𝜔 deux moins 𝜔 deux au carré, soit 𝜔 deux moins 𝜔 un. Il s'agit simplement de la valeur négative de notre première réponse. Nous avons donc deux valeurs possibles pour l'expression donnée, qui sont racine trois 𝑖 et moins racine trois 𝑖.
