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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction rationnelle Mathématiques

Calculez lim(𝑥 ⟶ 1) [((𝑥⁴ - 1)⁴/(𝑥³ - 1)³) × (1/(𝑥⁶ - 1))].

04:46

Transcription de vidéo

Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 quatre moins un, le tout à la puissance quatre, le tout divisé par 𝑥 au cube moins un, le tout au cube multiplié par un sur 𝑥 six moins un.

Dans cette question, on nous demande de calculer la limite d’une fonction rationnelle. En effet, le numérateur est un polynôme et le dénominateur est un polynôme. Nous pourrions donc essayer de le faire avec un remplacement direct. Cependant, si nous remplaçons 𝑥 par un dans notre limite, dans notre numérateur, nous obtenons un facteur avec un puissance quatre moins un, ce qui donne zéro. Et dans notre dénominateur, nous obtenons un facteur avec un au cube moins un, ce qui donne aussi zéro. Donc, cela nous donne la forme indéterminée zéro divisé par zéro.

Donc, nous ne pouvons pas simplement calculer cette limite par remplacement direct. Nous allons devoir manipuler notre limite. Une façon de le faire serait de rechercher des facteurs 𝑥 moins un au numérateur et au dénominateur. Nous pourrions ensuite simplifier ces facteurs communs, ce qui nous aiderait à calculer cette limite. Cependant, il existe en fait une méthode plus simple si nous pouvons réécrire cette limite en termes de limite de différence de puissances. Et pour ce faire, nous rappelons le résultat suivant sur la limite. Pour toutes les constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚, où 𝑚 n’est pas égale à zéro, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛, le tout divisé par 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚 est égale à 𝑛 sur 𝑚 multipliée par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela est vrai à condition que 𝑎 puissance 𝑛, 𝑎 puissance 𝑚, et 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous.

Nous voulons réécrire notre limite en fonction de ce résultat sur les limites. Tout d’abord, notons que nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers un, donc notre valeur de 𝑎 va être égale à un. Ensuite, nous notons également que un à n’importe quelle puissance est égale à un. Ainsi, dans chacune de ces expressions, nous pouvons réécrire le un à une puissance qui correspond à celle de 𝑥. Par exemple, au numérateur de la fraction de gauche, nous pouvons réécrire un comme un puissance quatre. Cela doit correspondre au numérateur de notre résultat sur les limites ; nous avons besoin de 𝑎 à la puissance 𝑛. De même, au dénominateur, nous pouvons réécrire le un comme un au cube. Cela doit correspondre au dénominateur de notre résultat sur les limites. Cela peut nous aider à repérer les endroits où nous pouvons appliquer ce résultat sur les limites pour simplifier notre limite. Par exemple, nous pouvons repérer notre résultat sur les limites dans notre premier facteur. Le seul problème est que notre numérateur est à la puissance quatre tandis que notre dénominateur est au cube.

Pour appliquer ce résultat, nous allons devoir faire correspondre les exposants afin de pouvoir mettre la puissance à l’extérieur. Pour ce faire, nous devons enlever un facteur de 𝑥 quatre moins un et le mettre dans notre deuxième fraction. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 quatre moins un puissance quatre le tout au cube sur 𝑥 au cube moins un au cube, le tout au cube multiplié par 𝑥 quatre moins un puissance quatre sur 𝑥 six moins un puissance six.

Maintenant, le deuxième facteur à l’intérieur de notre limite est exactement sous la forme du résultat sur les limites. Cependant, le premier facteur n’est pas tout à fait sous cette forme, car nous avons à la fois le numérateur et le dénominateur au cube. Donc, nous allons devoir appliquer les lois des exposants. Cela nous permettra plutôt de mettre au cube le facteur entier. Maintenant, notre premier facteur est le cube de ce résultat sur les limites. Ainsi, nous pouvons appliquer la règle du produit pour les limites et la règle de la puissance pour les limites afin de calculer notre limite en utilisant le résultat. Nous allons commencer par appliquer la règle du produit pour les limites, qui nous indique que la limite d’un produit de deux fonctions est égale au produit des limites de ces deux fonctions, sachant que les deux limites existent.

Ensuite, nous allons appliquer également la règle des puissances pour les limites. Cela nous permet de faire sortir le cube à l’extérieur de notre limite. Et il convient de souligner que nous savons que les limites de ces deux fonctions existent, et nous savons comment les calculer car nous pouvons simplement appliquer le résultat sur les limites. Nous sommes maintenant prêts à calculer ces deux limites séparément. Commençons par notre première limite. Nous pouvons voir que notre exposant 𝑛 est quatre, notre exposant 𝑚 est trois et notre valeur de 𝑎 est un. Ensuite, nous utilisons simplement ces valeurs dans le résultat sur les limites. Nous obtenons quatre sur trois multiplié par un puissance quatre moins trois. Et rappelez-vous, nous devons élever au cube la valeur de cette limite.

Nous pouvons faire exactement la même chose avec notre deuxième limite. Notre valeur de 𝑛 est quatre, notre valeur de 𝑚 est six et notre valeur de 𝑎 est un. Nous pouvons alors calculer cette limite en utilisant ces valeurs dans le résultat sur les limites. Nous obtenons quatre sur six multiplié par un puissance quatre moins six. Ensuite, comme ces deux limites existent, le produit de ces deux valeurs sera la valeur de notre limite d’origine.

Maintenant, tout ce que nous devons faire est de calculer cette expression. Tout d’abord, un élevé à n’importe quelle puissance est égal à un, nous pouvons donc simplifier cela. Nous obtenons quatre tiers le tout au cube multiplié par quatre sur six. Nous pouvons alors calculer cette expression. Et si nous le faisons, nous obtenons 128 divisé par 81, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 quatre moins un, le tout puissance quatre, le tout divisé par 𝑥 au cube moins un, le tout au cube multiplié par un divisé par 𝑥 six moins un est égal à 128 divisé par 81.

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