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Vidéo de question : Utilisation de la dérivation implicite et de la règle du produit pour trouver la valeur d’une expression contenant les dérivées première et seconde Mathématiques

Sachant que 𝑥² + 9 = −2𝑥𝑦, déterminez 𝑥 (d²𝑦 / d𝑥²) + 2 (d𝑦 / d𝑥).

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑥 au carré plus neuf égale moins deux 𝑥 𝑦, trouvez 𝑥 d deux 𝑦 sur d𝑥 carré plus deux d𝑦 sur d𝑥.

Il devrait être assez clair que pour résoudre ce problème, nous allons devoir trouver d𝑦 sur d𝑥, c’est la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥, et d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. C’est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Si, cependant, nous passons à notre équation, nous remarquons qu’il n’est pas si facile de dériver 𝑦 par rapport à 𝑥. Et c’est parce que cette fonction est définie de manière implicite. Nous sommes habitués à dériver des fonctions, c'est-à-dire quand 𝑦 est donné explicitement en fonction de 𝑥. Heureusement, nous pouvons utiliser une version spéciale de la règle de dérivation en chaîne pour dériver une fonction de 𝑦 par rapport à 𝑥. Lorsque nous le faisons, nous dérivons cette fonction par rapport à 𝑦, puis multiplions cela par d𝑦 sur d𝑥.

Prenons donc l’équation 𝑥 au carré plus neuf égale moins deux 𝑥 𝑦. Nous allons différencier les deux côtés de cette équation par rapport à 𝑥. Pour ce faire, nous rappelons comment nous dérivons une puissance. Pour un terme de la forme 𝑎 𝑥 à la puissance 𝑛, où 𝑛 est une constante réelle, nous multiplions le terme entier par 𝑛 puis réduisons cette puissance ou cet exposant de un. Cela signifie que la dérivée de 𝑥 au carré est deux 𝑥 à la puissance un ou juste deux 𝑥. Cela signifie également que la dérivée d’une constante est zéro. Rappelez-vous que neuf peut être considéré comme neuf 𝑥 à la puissance zéro. Et lorsque nous multiplions tout cela par l’exposant zéro, nous obtenons zéro.

Mais qu’en est-il de la dérivation de moins deux 𝑥 𝑦 par rapport à 𝑥? C’est en fait le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du produit combinée à une dérivation implicite. Cela signifie que la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Dans notre fonction, nous allons laisser 𝑢 égal à moins deux 𝑥 et 𝑣 égal à 𝑦. Alors, d𝑢 sur d𝑥, la dérivée de moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥, est simplement moins deux.

Mais qu’en est-il de d𝑣 sur d𝑥? Nous allons utiliser la dérivation implicite. Nous savons que nous devons dériver notre fonction par rapport à 𝑦. Eh bien, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦 est juste un. Nous multiplions ensuite cela par d𝑦 sur d𝑥. Nous pouvons donc voir que d𝑣 sur d𝑥 est un d𝑦 sur d𝑥 ou simplement d𝑦 sur d𝑥. Ensuite, la dérivée de moins deux 𝑥 𝑦 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. C’est moins deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, ce qui nous donne moins deux 𝑦. Et donc nous avons dérivé les deux côtés de notre équation par rapport à 𝑥. Nous obtenons ainsi, deux 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 moins deux 𝑦.

Ajoutons deux 𝑦 des deux côtés de notre équation, et nous obtenons deux 𝑥 plus deux 𝑦 égale moins deux 𝑥 d𝑦 sur d𝑥. Ensuite, nous trouvons une expression pour d𝑦 sur d𝑥 en divisant par moins deux 𝑥. Nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est deux 𝑥 plus deux 𝑦 sur moins deux 𝑥. Maintenant, nous pouvons simplifier cela pour obtenir moins un moins 𝑦 sur 𝑥. Nous avons donc une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Répétons ce processus et trouvons une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. Dérivons notre expression de d𝑦 sur d𝑥 terme à terme. Eh bien, la dérivée de moins un est en fait zéro. Et cela signifie que d deux 𝑦 sur d𝑥 carré est simplement la dérivée de moins 𝑦 sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Et, bien sûr, nous pourrions, si nous le choisissons, écrire ceci comme moins la dérivée de 𝑦 sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais comment allons-nous différencier 𝑦 sur 𝑥?

Nous savons que 𝑦 et 𝑥 sont des fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du quotient. Cela signifie que la dérivée de 𝑢 divisé par 𝑣 est 𝑣 d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Maintenant, si nous comparons cela à notre fonction, nous pouvons voir que nous aurons 𝑢 égale à 𝑦 et 𝑣 égale à 𝑥. d𝑣 sur d𝑥 est assez simple. C’est la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥, qui est juste un. Mais encore une fois, nous devrons utiliser la dérivation implicite pour trouver d𝑢 par d𝑥. C’est la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑦, qui est un, fois d𝑦 par d𝑥. Donc, en fait, c’est simplement d𝑦 par d𝑥.

La règle du quotient nous dit que la dérivée de 𝑦 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑥 fois d𝑦 sur d𝑥, soit 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, qui est 𝑦 fois un. Et, bien sûr, c’est partout 𝑥 au carré. Nous simplifions un peu cela. Et puis nous voyons que la dérivée de 𝑦 sur 𝑥 est 𝑥 d𝑦 par d𝑥 moins 𝑦 sur 𝑥 au carré. Donc, d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est moins ce terme-là. Nous distribuons nos parenthèses en multipliant par moins un. Et nous voyons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est 𝑦 moins 𝑥 d𝑦 sur d𝑥 sur 𝑥 au carré.

Mais, bien sûr, nous avons en fait une expression pour d𝑦 par d𝑥. C’est moins un moins 𝑦 sur 𝑥. Et donc nous remplaçons d𝑦 sur d𝑥 par ceci. Et nous voyons que d deux 𝑦 sur d𝑥 carré est égal à 𝑦 moins 𝑥 fois moins un moins 𝑦 sur 𝑥 le tout sur 𝑥 au carré. Et puis nous distribuons les parenthèses. Moins 𝑥 fois moins un est 𝑥. Et moins 𝑥 fois moins 𝑦 sur 𝑥, le 𝑥 se simplifie, et nous obtenons plus 𝑦. Et donc d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à deux 𝑦 plus 𝑥 le tout sur 𝑥 au carré. Nous avons maintenant des expressions pour les dérivées première et seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Remplaçons-les donc par ces expressions.

Nous obtenons 𝑥 fois deux 𝑦 plus 𝑥 sur 𝑥 au carré plus deux fois moins un moins 𝑦 sur 𝑥. Nous pouvons voir que nous pouvons simplifier par 𝑥. Et la première partie de devient deux 𝑦 plus 𝑥 sur 𝑥. Il est également logique de distribuer nos parenthèses en multipliant chaque terme par deux. Ce qui nous donne moins deux moins deux 𝑦 sur 𝑥. Nous allons en fait diviser notre première fraction en divisant chaque terme par 𝑥. Nous obtenons deux 𝑦 sur 𝑥 plus 𝑥 sur 𝑥, ce qui fait un. Et maintenant, nous voyons que nous avons deux 𝑦 sur 𝑥 moins deux 𝑦 sur 𝑥, ce qui fait zéro. Et donc cela se simplifie en un moins deux, ce qui fait moins un. Et donc 𝑥 fois d deux 𝑦 par d𝑥 carré plus deux fois d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins un.

Maintenant, il convient de noter que nous aurions pu à l’origine diviser les deux côtés de notre équation par moins deux 𝑥. Nous aurions alors pu utiliser la règle du quotient deux fois pour trouver d𝑦 sur d𝑥 et d deux 𝑦 sur d𝑥 carré. En divisant par moins deux 𝑥, nous obtenions ainsi une forme explicite en 𝑥.

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