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Vidéo de question : Déterminer, si elle existe, la limite d’une fonction à gauche ou à droite en un point à partir de la représentation graphique de la fonction Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 → 0⁺) 𝑓 (𝑥), si elle existe.

02:24

Transcription de vidéo

Déterminez la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers zéro, si elle existe.

On nous donne la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥. On doit utiliser cette courbe pour déterminer si la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers zéro existe. Et si cette limite existe, on doit déterminer sa valeur. Pour cela, commençons par rappeler ce qu’est la limite à droite de la fonction 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers zéro.

Il s’agit de la valeur vers laquelle tendent les valeurs de 𝑓 de 𝑥 quand les valeurs de 𝑥 tendent vers zéro et qu’elles sont supérieures à zéro. Mais il y a un petit souci avec cette définition. Parfois, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 ne tendent pas vers une valeur en particulier. Par exemple, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 peuvent augmenter à l’infini ou diminuer à l’infini. Il peut aussi arriver que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 oscillent entre plusieurs valeurs. Dans tous ces cas, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 ne tendent pas vers une valeur en particulier. Alors, dans tous ces cas, on dit que la limite n’existe pas.

Pour vérifier si notre limite existe, on utilise la méthode suivante. On a besoin de savoir ce qui se passe pour nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 quand nos valeurs de 𝑥 tendent vers zéro du côté droit. Ce qui signifie que nos valeurs de 𝑥 sont supérieures à zéro.

On veut voir ce qui se passe quand nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de zéro par la droite. Ce faisant, plusieurs choses peuvent poser problème. Par exemple, notre fonction n’est pas définie en 𝑥 égale deux. Ceci est indiqué par le rond vide dessiné sur la courbe. Mais n’oublions pas que nos valeurs de 𝑥 doivent tendre vers zéro. C’est-à-dire qu’elles se rapprochent de plus en plus de zéro. Donc elles finissent inévitablement par être toutes inférieures à deux. Donc on n’a pas à se préoccuper du fait que la fonction n’est pas définie en 𝑥 égale deux.

Il suffit de choisir des valeurs de 𝑥 inférieures à deux. Pour chacune de nos valeurs de 𝑥, par exemple 𝑥 égale un, on détermine la valeur de 𝑓 de 𝑥 associée en trouvant la coordonnée 𝑦 correspondante sur la courbe. Ici, la coordonnée 𝑦 du point 𝑥 égale un est comprise entre moins deux et moins un. On peut recommencer avec des valeurs de 𝑥 plus proches de zéro. En considérant de plus en plus de points, on peut voir que nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins sept. Autrement dit, on voit que plus nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de zéro par la droite, plus nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de moins sept.

Par conséquent, on a non seulement montré que cette limite existe, mais aussi qu’elle est égale à moins sept. Donc on a pu montrer à partir du graphe que la limite à droite de 𝑓 of 𝑥 quand 𝑥 tend vers zéro est égale moins sept.

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