Vidéo question :: Résoudre un système de trois équations en utilisant l’inverse d’une matrice Mathématiques

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Utilisez l’inverse d’une matrice pour résoudre le système d’équations linéaires moins quatre 𝑥 moins deux 𝑦 moins neuf 𝑧 égal moins huit, moins trois 𝑥 moins deux 𝑦 moins six 𝑧 égal moins trois et moins 𝑥 plus 𝑦 moins six 𝑧 égal sept.

On nous dit dans la question que nous devons résoudre ce problème en utilisant l’inverse d’une matrice. Nous savons également que nous pouvons réécrire un système d’équations linéaires en une équation matricielle. Notre équation matricielle comportera trois parties : une matrice de coefficients, une matrice de variables et une matrice constante.

La matrice de coefficients est constituée des coefficients de chaque variable dans le bon ordre. Ainsi, la première ligne de la matrice de coefficients sera moins quatre, moins deux, moins neuf. La deuxième ligne de la matrice de coefficients sera moins trois, moins deux, moins six. La troisième ligne de la matrice de coefficients sera moins un, un et moins six. Pour cette équation, nous devons être prudents car, bien que les coefficients de 𝑥 et 𝑦 ne soient pas visibles, ils sont respectivement moins un et un.

Passons à autre chose et examinons ce qui se passe dans la matrice de variables. Ce seront nos variables pour ce système d’équations linéaires. C’est-à-dire 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Alors, maintenant, remplissons les entrées pour la matrice constante. Remplissons donc par les constantes de notre système d’équations linéaires, c’est-à-dire moins huit, moins trois et sept. Voici donc notre système d’équations linéaires mais écrit comme une équation matricielle.

La méthode de la matrice inverse pour résoudre ce problème implique clairement l’inverse de la matrice, mais pourquoi ? Bien, appelons cette matrice de coefficients 𝐴, la matrice de variables 𝑋 et la matrice constante 𝐵. Nous pouvons donc représenter cette équation matricielle comme 𝐴𝑋 est égale à 𝐵. Rappelez-vous, notre objectif est de trouver les entrées de la matrice de variables, soit 𝑋. Ainsi, pour résoudre 𝐴𝑋 est égale à 𝐵, rappelez-vous que 𝐴, 𝑋 et 𝐵 sont des matrices, nous ne devons donc faire que des opérations matricielles. Nous commençons par multiplier à gauche par l’inverse de la matrice des coefficients des deux côtés de l’équation. Nous le faisons parce qu’au côté gauche de l’équation, nous avons l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴.

Nous savons que l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴 nous donne simplement la matrice identité. Nous savons également que multiplier la matrice identité par une autre matrice nous donne simplement cette matrice. Ainsi, cela donne 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Une fois que nous arriverons à cette étape, nous pourrons multiplier l’inverse de 𝐴 par 𝐵 parce que nous allons trouver la matrice inverse de 𝐴 et nous connaissons déjà les entrées de 𝐵 puisqu’il s’agit de la matrice constante. Voici donc la méthode que nous allons utiliser. Nous allons donc commencer par trouver l’inverse de la matrice de coefficients.

Nous pouvons utiliser la méthode de la matrice adjointe pour obtenir l’inverse de cette matrice, si elle existe. Rappelons qu’une matrice carrée est inversible si son déterminant est différent de zéro. Commençons donc par trouver le déterminant de cette matrice et assurons-nous qu’il n’est pas nul. Rappelons que nous trouvons le déterminant d’une matrice trois trois de cette façon, où il s’agit des matrices mineures de la matrice obtenues en retirant la 𝑖-ième ligne et la 𝑗-ième colonne de la matrice 𝐴.

Allons-y et appliquons cela pour trouver le déterminant de notre matrice de coefficients. Nous commençons par prendre l’entrée 𝑎 un un, soit moins quatre. Nous la multiplions par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 un un. L’entrée dans la première ligne et la première colonne de la matrice 𝐴 est moins quatre. Par conséquent, la matrice mineure 𝐴 un un est la matrice moins deux, moins six, un, moins six.

Nous multiplions donc moins quatre par le déterminant de la matrice moins deux, moins six, un, moins six. Ensuite, nous soustrayons l’entrée 𝑎 un deux. Soit moins deux. Nous multiplions par le déterminant de la matrice mineur 𝐴 un deux. Puisque l’entrée de la première ligne et de la deuxième colonne se trouve ici, la matrice mineure associée à cette entrée est moins trois, moins six, moins un et moins six.

Enfin, nous ajoutons l’entrée 𝑎 un trois. Soit l’entrée moins neuf. La matrice mineure qui lui est associée est moins trois, moins deux, moins un et un.

Nous pouvons donc maintenant calculer chacun de ces déterminants. En prenant le premier comme exemple, nous calculons cela en faisant moins deux multiplié par moins six. Cela nous donne 12. Puis, nous soustrayons moins six multiplié par un. Cela nous donne moins six. Ainsi, ce déterminant vaut 12 moins moins six, soit 18. Ensuite, nous pouvons calculer les deux autres déterminants de la même manière. Ceux-ci valent 12 et moins cinq, respectivement.

Nous pouvons alors multiplier ces termes ensemble. Ensuite, en ajoutant et en soustrayant, nous trouvons que le déterminant de la matrice de coefficients est moins trois. Ainsi, parce que nous savons que le déterminant de cette matrice est différent de zéro, nous savons que la matrice inverse existe. Trouvons-la. Je vais faire de la place pour que nous puissions noter les calculs. Rappelons-nous la méthode de la matrice adjointe pour trouver l’inverse de la matrice.

Nous allons utiliser les trois étapes suivantes pour trouver l’inverse de la matrice de coefficients 𝐴. Nous allons commencer par trouver sa matrice des cofacteurs. Puis, nous trouverons la matrice adjointe en transposant la matrice de cofacteurs. Ensuite, nous multiplions la matrice adjointe par l’inverse du déterminant de 𝐴 pour obtenir la matrice inverse. Nous allons donc commencer par trouver la matrice de cofacteurs. Les entrées de la matrice de cofacteurs sont les déterminants des matrices mineures de la matrice correspondante multipliés par le signe alternatif moins un à la puissance 𝑖 plus 𝑗.

Nous allons donc calculer les déterminants de ces neuf matrices mineures, qui ont chacun un signe correspondant. Nous obtenons ce signe correspondant de moins un à la puissance 𝑖 plus 𝑗. Par exemple, pour cette première matrice mineure, cela nous donne moins un à la puissance un plus un. Puisqu’il s’agit de moins un carré, cela nous donne un. Cependant, si nous regardons la matrice mineure 𝐴 deux un, par exemple, nous trouvons le signe correspondant en faisant moins un à la puissance deux plus un. Cela nous donne moins un à la puissance trois. Cela donne moins un, nous disant donc que celui-ci a un signe négatif.

Alors, continuons en écrivant chacun des déterminants que nous devons trouver. Commençons par trouver la matrice mineure 𝐴 un un. Nous pouvons le faire en barrant la première ligne et la première colonne de notre matrice. Cela nous laisse avec la matrice moins deux, moins six, un, moins six. Voici donc la matrice mineure 𝐴 un un. Nous pouvons alors utiliser la même méthode pour trouver la matrice mineure 𝐴 un deux. Nous barrons la première ligne et la deuxième colonne et cela nous laisse avec la matrice moins trois, moins six, moins un, moins six. Ensuite, par la même méthode, nous pouvons trouver le reste des matrices mineures.

L’étape suivante consiste alors à calculer chacun de ces déterminants. Rappelez-vous que nous faisons cela pour les déterminants de matrices deux deux en soustrayant le produit des diagonales. Par exemple, pour ce premier déterminant, nous faisons moins deux multiplié par moins six. Cela nous donne 12. Ensuite, nous soustrayons moins six multiplié par un. Cela donne moins six. Le déterminant de cette matrice est donc 12 moins moins six. Soit 18.

Ensuite, ces déterminants que nous avons calculés nous donnent les entrées pour la matrice de cofacteurs. J’ai souligné ces valeurs en orange. Maintenant, je vais effacer ces calculs et écrire notre matrice de cofacteurs, composée des entrées soulignées en orange. Nous avons donc maintenant terminé la première étape de la méthode de la matrice adjointe pour trouver l’inverse de la matrice, il s’agissait de trouver la matrice de cofacteurs.

Passons maintenant à la deuxième étape. Nous devons trouver la matrice adjointe en transposant 𝐶. N’oubliez pas que transposer une matrice signifie que les lignes deviennent les colonnes et que les colonnes deviennent les lignes. Voilà donc la deuxième étape. Nous avons transposé la matrice 𝐶, ce qui nous a donné la matrice adjointe de 𝐴. Nous pouvons maintenant passer à la troisième et dernière étape pour trouver la matrice inverse.

Pour la troisième étape, nous multiplions la matrice adjointe que nous venons de trouver par l’inverse du déterminant, que nous avons calculé précédemment. Rappelez-vous, nous avons trouvé que ce déterminant était moins trois. Cette dernière étape nous donne alors l’inverse de la matrice 𝐴. Nous avons encore quelques étapes à franchir pour terminer cette question. Rappelez-vous que nous avons déclaré pouvoir réécrire cette équation matricielle comme 𝐴𝑋 est égale à 𝐵. Pour trouver 𝑋, il faudrait multiplier à gauche par la matrice inverse de 𝐴. Puisque la multiplication de l’inverse d’une matrice par la matrice elle-même ne nous donne que la matrice identité, nous pouvons donc réorganiser cette équation matricielle pour avoir 𝑋 égale à la matrice inverse de 𝐴 multipliée par 𝐵.

Ainsi, pour trouver 𝑋 et donc les entrées 𝑥, 𝑦, 𝑧, nous devons calculer la matrice inverse de 𝐴 multipliée par 𝐵. Je vais donc faire de la placer afin que nous puissions faire ce calcul. Maintenant, nous pouvons trouver 𝑋 en réalisant ce produit matriciel. Nous procédons selon la méthode habituelle pour le produit matriciel. Simplifions maintenant. A partir de là, il suffit de multiplier chacune des trois entrées par moins un sur trois. Cela nous donne 41, moins 24, moins 12. Par conséquent, nous avons trouvé que la matrice 𝑥, 𝑦, 𝑧 était de 41, moins 24, moins 12. Par conséquent, 𝑥 est égal à 41, 𝑦 est égal à moins 24 et 𝑧 est égal à moins 12.

Remarquez que nous pourrions vérifier cette réponse en substituant les valeurs que nous avons trouvées dans la matrice de variables et en multipliant la matrice de coefficients par la matrice de variables, ce qui devrait alors nous donner la matrice constante moins huit, moins trois, sept.

Puisqu’il s’agissait d’une question assez longue, passons rapidement en revue les étapes que nous avons suivies pour trouver la réponse. Nous avons commencé par écrire notre système d’équations linéaires sous la forme d’une équation matricielle. Nous avons alors reconnu que si nous multiplions à gauche par l’inverse de la matrice de coefficients, cela nous donnerait la matrice de variables. Pour ce faire, nous avons dû trouver l’inverse de la matrice de la matrice de coefficients en utilisant la méthode de la matrice adjointe. Enfin, il nous a suffi de multiplier l’inverse que nous avions trouvé par la matrice constante pour obtenir la matrice de variables et donc les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.