Transcription de la vidéo
Soit le segment 𝐴𝐵 le diamètre d’un cercle et la droite 𝐵𝐶 une tangente au cercle en 𝐵. Sachant que l’aire du cercle est de 240,25 pi et que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de 45 degrés, calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶 au centième près.
Commençons par créer un croquis. Nous avons un cercle dans lequel le segment de droite 𝐴𝐵 est un diamètre. Il y a alors une tangente au cercle 𝐵𝐶 telle que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de 45 degrés. On nous demande de calculer l’aire du triangle formé par les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
Maintenant, nous savons que l’aire d’un triangle peut être calculée comme la moitié de sa base multipliée par sa hauteur perpendiculaire. On ne nous a pas indiqué de longueurs. Alors réfléchissons à la façon dont nous pouvons les calculer. La première chose à noter est que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est en fait un triangle rectangle en 𝐵. Nous le savons parce que nous connaissons une propriété qui stipule qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon et, par conséquent, au diamètre au point de contact. Ainsi, la droite 𝐵𝐶 est perpendiculaire au segment 𝐴𝐵.
Par conséquent, comme nous avons une paire de côtés perpendiculaires dans ce triangle, nous pouvons calculer son aire comme un demi multiplié par 𝐵𝐶 multiplié par 𝐴𝐵. Nous pouvons également observer que ce triangle est en fait isocèle, car en utilisant le fait que les angles d’un triangle font 180 degrés, la mesure du troisième angle, l’angle 𝐵𝐴𝐶, doit également être de 45 degrés. Les côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont donc de longueur égale.
La dernière information que nous n’avons pas encore utilisée, c’est que l’aire du cercle est de 240,25 pi. Nous savons que l’aire d’un cercle est calculée à l’aide de la formule pi 𝑟 au carré, où 𝑟 représente le rayon du cercle. Nous pouvons donc établir une équation qui nous permettra de calculer la longueur du rayon du cercle et, par conséquent, la longueur du diamètre du cercle en doublant cette valeur.
En nous souvenant que 𝐴𝐵 est un diamètre de ce cercle, cela nous donnera alors les longueurs de 𝐴𝐵 et de 𝐵𝐶 à utiliser pour calculer l’aire du triangle. Donc, pour former l’équation, nous avons pi 𝑟 au carré égale 240,25 pi. Nous pouvons immédiatement éliminer un facteur pi des deux côtés, laissant 𝑟 au carré égale 240,25. Nous pouvons trouver 𝑟 en prenant la racine carrée, ce qui donne 𝑟 égale racine carrée de 240,25, c’est-à-dire 15,5. Le diamètre du cercle est le double de cette valeur, deux fois 15,5, soit 31 unités.
Nous savons donc maintenant que la longueur de 𝐴𝐵, et donc la longueur de 𝐵𝐶, est de 31 unités. La substitution de ces deux valeurs dans la formule de l’aire du triangle donne un demi multiplié par 31 multiplié par 31, ou un demi multiplié par 31 au carré. Soit 961 sur deux, c’est-à-dire 480,5.
On nous demande de donner l’aire au centième près. Nous pouvons donc ajouter un zéro à la deuxième décimale. On ne nous a donné aucune unité dans la question. Nous pouvons donc conclure que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 au centième près est de 480,50 unités carrées.
