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Vidéo de la leçon : Angles orientés Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et mesurer des angles orientés et à déterminer leurs mesures équivalentes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier et mesurer des angles orientés et à déterminer leurs mesures équivalentes.

Avant de commencer, nous allons rappeler quelques propriétés. La première est la propriété des angles autour d’un point. La somme des mesures des angles autour d’un point est égale à 360 degrés. En d’autres termes, un tour complet représente 360 degrés. Vous êtes peut-être plus habitué à mesurer des angles en degrés et savez qu’un tour complet, comme nous l’avons vu, est de 360 degrés. Bien que ce ne soit pas un prérequis à cette vidéo, il convient également de noter que nous pouvons mesurer les angles en radians, et un tour complet de 360 degrés est égal à deux radians. On divise par deux et on trouve que 𝜋 radians égale 180 degrés.

Mais cette vidéo concerne les angles orientés. Alors, de quoi s’agit-il? Et bien, tout simplement, un angle orienté est un angle qui a un sens. Si l’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on dit que la mesure de cet angle est positive. Et s’il est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre, la mesure de l’angle est considérée négative. Par exemple, pour les rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵. Nous voyons qu’ils ont la même origine. L’angle orienté entre les rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 est de mesure positive car on l’a mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Si on le mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, comme indiqué, sa mesure est considéré négative. 𝑂𝐴 est appelé le côté initial de l’angle; en d’autres termes, c’est de là que l’on part. 𝑂𝐵 est alors le côté final; c’est là que l’angle se termine.

Comme nous pouvons continuer à nous déplacer dans les deux sens aussi longtemps que nous le souhaitons, nous en déduisons qu’il existe une infinité de mesures du même angle. Voyons ce que nous entendons par là.

Déterminez le plus petit équivalent positif de 788 degrés.

Imaginons que l’angle orienté de 788 degrés est l’angle entre deux rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵. 𝑂𝐴 est le côté initial. C’est à partir de là que nous commençons à mesurer l’angle. Et 𝑂𝐵 est le côté final. 788 degrés est positif, nous devons donc mesurer l’angle entre ces deux rayons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous savons qu’un tour complet est égal à 360 degrés. Comme 788 est supérieur à 360, nous en déduisons que nous devons faire au moins un tour complet pour arriver à cet angle. 360 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre nous ramène au rayon 𝑂𝐴.

Observons ce qui se passe lorsque nous effectuons un autre tour complet. Il s’agit à nouveau de 360 degrés. 360 plus 360 égale 720. Nous souhaitons cependant arriver à 788. On calcule donc la différence entre 788 et 720. Cela nous indiquera combien il reste à parcourir. 788 moins 720 égale 68. Nous devons donc parcourir 68 degrés supplémentaires dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le plus petit équivalent positif de 788 degrés est donc plus 68 degrés.

Nous allons maintenant étudier un exemple similaire, à la recherche cette fois d’un équivalent positif d’un angle de mesure négative.

Trouvez le plus petit équivalent positif de moins 40 degrés.

On imagine que l’angle orienté moins 40 degrés est l’angle entre les rayons 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵. Nous savons qu’une mesure négative indique que l’angle est mesuré du côté initial 𝑂𝐴 au côté final 𝑂𝐵 dans le sens des aiguilles d’une montre. L’angle de 40 degrés ressemble donc à cela. Nous souhaitons trouver le plus petit équivalent positif de moins 40 degrés. Nous allons donc mesurer ce même angle, mais dans l’autre sens.

Un angle orienté de mesure positive indique qu’il est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Donc, nous cherchons en fait cet angle. Pour trouver la mesure de cet angle, on rappelle que la somme des mesures des angles autour d’un point est égale à 360 degrés. On peut donc trouver un équivalent positif de moins 40 degrés en soustrayant 40 à 360. 360 moins 40 égale 320 degrés. Donc, cet angle est de 320 degrés. L’équivalent positif le plus petit de moins 40 degrés est par conséquent 320 degrés.

Il existe en fait un nom dédié pour les angles orientés de 320 degrés et moins 40 degrés. On dit qu’ils sont équivalents. Ce sont des angles qui partagent le même côté initial et le même côté final. Il s’agit donc d’une définition très importante. Des angles équivalents partagent les mêmes côtés initial et final. Bien sûr, nous avons vu que nous pouvons trouver un angle équivalent en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 360 degrés ou de deux π radians, selon si l’angle d’origine est mesuré en degrés ou en radians.

Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons déterminer une mesure équivalente positive et négative lorsque l’angle d’origine est exprimé en radians.

Déterminez un angle de mesure positive et un angle de mesure négative équivalents à l’angle de mesure deux 𝜋 sur trois.

Nous avons donc un angle de mesure deux 𝜋 sur trois radians. Si vous n’êtes pas vraiment familier avec les radians, ne vous inquiétez pas trop. 𝜋 radians égale 180 degrés; cela représente un demi-tour. Donc, deux 𝜋 sur trois est égal à deux tiers de cela. Traçons le côté initial de cet angle. Et comme il est positif, nous le mesurons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le côté final est donc probablement quelque part par là. On rappelle ensuite la définition de deux angles équivalents. Des angles équivalents partagent les mêmes côtés initial et terminal.

En résumé, nous souhaitons donc trouver des manières alternatives d’exprimer exactement le même angle. Si on souhaite trouver un angle avec une mesure positive, on doit continuer à avancer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. En fait, on doit effectuer un tour complet pour revenir à ce même côté final, où un tour complet égale deux π radians. Pour trouver l’angle équivalent, on doit donc additionner deux π sur trois radians et deux 𝜋 radians. On peut bien sûr reformuler deux 𝜋 comme six 𝜋 sur trois. Le but de cela est de s’assurer que les deux dénominateurs sont égaux. Maintenant que c’est le cas, on peut additionner les numérateurs. Deux plus six égale huit. Donc, deux 𝜋 sur trois plus six 𝜋 sur trois égale huit 𝜋 sur trois radians. On a donc trouvé l’angle de mesure positive.

Qu’en est-il de l’angle de mesure négative? Un angle de mesure négative est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre. On commence par le même côté initial mais on se déplace dans le sens opposé pour arriver au côté final. Comme un tour complet est de deux π radians, pour trouver la mesure de cet angle, on doit soustraire deux 𝜋 sur trois à deux 𝜋. À nouveau, si on réécrit deux 𝜋 comme six 𝜋 sur trois, on peut alors soustraire les numérateurs. Six 𝜋 moins deux π égale quatre 𝜋. L’amplitude de l’angle négatif est donc de quatre 𝜋 sur trois. Par conséquent, les deux angles sont de mesures huit 𝜋 sur trois et moins quatre 𝜋 sur trois.

Nous les avons représentés avec un schéma, ce qui nous a vraiment aidés à comprendre ce qui se passait. Mais rappelez-vous que lorsque nous avons défini les angles équivalents, nous avons expliqué que nous pouvons simplement ajouter ou soustraire 360 degrés ou deux 𝜋 à l’angle d’origine pour trouver des angles équivalents. Une autre façon de trouver la mesure négative aurait donc été de soustraire deux 𝜋 à deux 𝜋 sur trois. Les deux méthodes sont tout à fait acceptables tant que nous nous assurons de donner une mesure d’angle négative dans la réponse finale.

Nous allons maintenant passer à une autre définition. La définition qui nous intéresse est celle de la plus petite mesure positive. Nous avons déjà vu qu’il existe une infinité de mesures du même angle. La plus petite mesure positive est la mesure de l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le côté initial et le côté final qui appartient à l’intervalle fermé de zéro à 360 degrés, ou de zéro à deux 𝜋 radians. En d’autres termes, si 𝜃 est la plus petite mesure positive, 𝜃 peut être supérieure ou égale à zéro degré et inférieure ou égale à 360 degrés, ou 𝜃 peut être supérieure ou égale à zéro radian et inférieure ou égale à deux 𝜋 radians. Étudions une application de cette définition.

Soit l’angle de mesure 273𝜋 sur trois, déterminez sa plus petite mesure positive.

Nous savons que la plus petite mesure positive est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le côté initial et le côté final, et que sa valeur doit être comprise entre zéro et deux π radians. Nous devons donc trouver une mesure équivalente à 273𝜋 sur trois qui est positive et qui se situe dans cet intervalle. Avant d’aller plus loin, vérifions s’il est possible de simplifier cette fraction. 273 divisé par trois égale 91. L’angle est donc équivalent à 91 𝜋 radians. On rappelle bien sûr qu’un tour complet est égal à deux 𝜋 radians. On doit donc essentiellement se demander: combien de tours complets peut-on effectuer?

Pour le savoir, on divise 91𝜋 par deux 𝜋. On peut alors simplifier la fraction en annulant le facteur commun 𝜋. Puis, 91 divisé par deux égale 45,5. En d’autres termes, on peut effectuer 45 tours complets plus 0,5 tour ou un demi-tour. Bien sûr, un demi-tour est égal à 𝜋 radians. Par conséquent, la plus petite mesure positive est 𝜋 radians.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier cette notion pour une mesure négative.

Soit l’angle de mesure moins 23𝜋 sur cinq, déterminez sa plus petite mesure positive.

Nous savons que la plus petite mesure positive est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et a une valeur dans l’intervalle fermé de zéro à deux π radians. Nous devons donc trouver une mesure équivalente à moins 23𝜋 sur cinq qui est positive et qui se situe dans cet intervalle. On se demande alors: à quoi ressemble réellement moins 23𝜋 sur cinq radians? Cette mesure est négative, elle est donc mesurée dans le sens des aiguilles d’une montre. 23 sur cinq égal quatre plus trois sur cinq. On sait qu’un tour complet égale deux π radians. On va donc effectuer deux tours complets puis trois cinquième de π radians.

Voici donc un tour complet de deux π radians. On effectue ensuite un deuxième tour complet, ce qui donne quatre 𝜋 radians. Il reste alors les trois cinquièmes, ce qui est un peu plus qu’un demi. Un angle qui mesure trois cinquièmes de 𝜋 radians ressemblera donc plus ou moins à cela. Maintenant, les trois cinquièmes de 𝜋 sont compris entre zéro et deux 𝜋. Mais comme on mesure dans le sens des aiguilles d’une montre, sa valeur est en fait négative.

Pour trouver une mesure équivalente et positive, on va maintenant mesurer du côté initial au côté final dans le sens inverse des aiguilles d’une montre comme ceci. On trouve donc la mesure de cet angle en soustrayant trois 𝜋 sur cinq à deux 𝜋. En écrivant ces nombres avec le même dénominateur, on peut l’écrire 10𝜋 sur cinq, puis soustraire leurs numérateurs pour obtenir sept 𝜋 sur cinq. Par conséquent, la plus petite mesure positive d’un angle de mesure moins 23𝜋 sur cinq est sept 𝜋 sur cinq.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris qu’un angle orienté est un angle qui a un sens. Un angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est considéré positif, tandis qu’un angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre est négatif. Nous avons appris qu’il existe une infinité de mesures du même angle, et on les appelle des angles équivalents. Des angles équivalents partagent le même côté initial et le même côté final. Cela nous a enfin amenés à la définition de la plus petite mesure positive. Il s’agit de la mesure de l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le côté initial et le côté final. Et sa valeur doit être dans l’intervalle fermé de zéro à 360 degrés ou de zéro à deux 𝜋 radians.

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