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Vidéo de question : Utiliser des vecteurs pour déterminer l’aire d’un rectangle à partir de ses sommets Mathématiques

On considère le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 dont les sommets sont 𝐴(−6, −7), 𝐵(0, 2), 𝐶(6, -2) et 𝐷(0, - 11). Calculez son aire à l’aide de vecteurs.

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Transcription de vidéo

On considère le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 dont les sommets sont 𝐴 moins six, moins sept ; 𝐵 zéro, deux ; 𝐶 six, moins deux ; et 𝐷 zéro, moins 11. Calculez son aire à l’aide de vecteurs.

Nous commencerons par tracer le rectangle sur un repère. Le point 𝐴 a les coordonnées moins six, moins sept. Le point 𝐵 a les coordonnées zéro, deux. Le point 𝐶 est égal à six, moins deux. Et enfin, le point 𝐷 a les coordonnées zéro, moins 11. On nous demande de calculer l’aire du rectangle en utilisant des vecteurs. Nous savons que l’aire d’un parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des vecteurs 𝐚 et 𝐛 où le vecteur 𝐚 et le vecteur 𝐛 sont les côtés du parallélogramme. La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à la norme du vecteur 𝐚 multipliée par la norme du vecteur 𝐛 multipliée par la valeur absolue du sinus de 𝜃, où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs.

Nous savons qu’un rectangle est un type spécial de parallélogramme où la mesure des quatre angles est égale à 90 degrés. L’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est donc égale à la norme du produit vectoriel du vecteur 𝚨𝚩 et du vecteur 𝚨𝐃. Ceci, à son tour, est égal à la norme du vecteur 𝚨𝚩 multipliée par la norme du vecteur 𝚨𝐃 multipliée par la valeur absolue du sinus 𝜃. 𝜃 est égal à 90 degrés, et nous savons que le sinus de 90 degrés est égal à un. L’aire du rectangle est donc égale à la norme du vecteur 𝚨𝚩 multipliée par la norme du vecteur 𝚨𝐃. Nous allons maintenant créer de l’espace afin de calculer ces deux valeurs.

Le vecteur 𝚨𝚩 aura les composantes zéro moins moins six et deux moins moins sept. Zéro moins moins six est égal à six et deux moins moins sept est égal à neuf. Par conséquent, le vecteur 𝚨𝚩 est égal à six, neuf. Nous pouvons trouver la norme d’un vecteur en calculant la racine carrée de la somme des carrés de chacune des composantes. Six au carré est égal à 36, et neuf au carré est 81. Par conséquent, la norme du vecteur 𝚨𝚩 est égale à la racine carrée de 117. Ceci devient trois racine de 13.

Nous pouvons maintenant répéter ce processus pour le vecteur 𝚨𝐃. Celui-ci aura une composante 𝑥 égale à zéro moins moins six et une composante 𝑦 égale à moins 11 moins moins sept. Ceci est égal à six, moins quatre. La norme du vecteur 𝚨𝐃 est donc égale à la racine carrée de six au carré plus moins quatre au carré. Puisque six au carré est égal à 36 et moins quatre au carré est égal à 16, il nous reste la racine carrée de 52. Ceci devient deux racine de 13. Remplacer ces valeurs dans notre équation nous donne trois racine de 13 multiplié par deux racine de 13. Trois multiplié par deux est égal à six, et racine de 13 multipliée par racine de 13 est égal à 13. Ceci nous donne six multiplié par 13, ce qui est égal à 78. L’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de 78 unités d’aire.

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