Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 est un pentagone régulier dont la longueur d'un côté est 16 centimètres. Cinq forces, d'intensité 11 newtons chacune, agissent respectivement en 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸 et 𝐸𝐴. Si le système est équivalent à un couple, déterminez l'intensité de son moment, arrondie au centième près, sachant que la direction positive est 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸
Très bien, ceci est alors un pentagone régulier. Le fait qu’il s’agit d’un pentagone régulier signifie que tous ses angles intérieurs sont égaux et que ses cotés sont de même longueur. Si l’on étiquette les sommets de notre pentagone comme ceci, alors on nous dit que tout le long de ses côtés et dans le sens des aiguilles d’une montre agissent des forces de 11 newtons. Ce système de forces, on nous dit, est équivalent à un couple. Cela signifie que la force résultante sur ce pentagone est nulle. Mais le moment résultant ne l’est pas. Ici, on veut calculer la magnitude de ce moment. Et on considère que le moment est positif s’il tend à créer une rotation dans la direction de 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Il s’agit d’une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre comme nous l’avons représenté
Ce moment total sera par rapport au point centre géométrique de notre pentagone. Et pour calculer ce moment, la question principale est de savoir quelle est cette distance ici ? C’est-à-dire quelle est la distance perpendiculaire entre le coté de notre pentagone et le point central. On l’appelle 𝑑. La raison pour laquelle cette question est si importante est parce que 𝑑 est la même pour les cinq côtés. Et nous rappelons que pour calculer le moment créé par une force donnée, on multiplie cette force par la distance perpendiculaire entre le point d’application de la force et l’axe de rotation. Dans notre cas, on connait toutes les forces ; ce sont des forces de 11 newtons. Mais on ne connait pas encore 𝑑.
Pour calculer 𝑑, considérons que si l’on commence à cette ligne verticale en pointillés et on tourne tout autour du centre, on fera un déplacement angulaire de 360 degrés, et cela est intéressant car il signifie que si l’on dessine des lignes pointillées du centre vers les sommets de notre pentagone, alors l’angle de chacune de ces cinq sections est de 360 degrés divisés par cinq. De plus, si l’on considère seulement la moitié de cet angle, c’est-à-dire l’angle qui fait également partie de ce triangle rectangle orange, alors il fera 360 sur 10. En d’autres termes, cet angle ici est de 360 sur 10 ou 36 degrés. Donc, on a un triangle rectangle où l’un des angles intérieurs est de 36 degrés et la longueur du côté adjacent est celle qu’on veut calculer.
On sait cependant autre chose sur ce triangle. On peut également calculer la longueur de ce côté opposé ici. Rappelons-nous qu’on nous dit que chaque côté de ce pentagone est de 16 centimètres. Cela signifie donc, dans notre schéma d’origine, que cette longueur ici est de 16 centimètres, ce qui signifie que la moitié de cela est huit. Et donc, puisque la tangente de cet angle est égale au rapport de la longueur de ce côté sur celle de ce côté, on peut écrire que la tangente de 36 degrés est égale à huit sur 𝑑 ou dans l’autres termes 𝑑 est égale à huit sur la tangente de 36 degrés.
Maintenant qu’on a 𝑑 qu’on utilisera pour tous les moments créés par les cinq forces agissant sur notre pentagone, on passe au calcul du moment total. Pour commencer à faire cela, dégageons de l’espace et calculons le moment total, qu’on appellera 𝑀, autour du centre de notre pentagone. Ce qui permet de simplifier notre calcul est que la contribution à ce moment total des cinq forces est identique. Ceci est dû au fait que toutes ces forces ont la même intensité, agissent dans le même sens des aiguilles d’une montre, et sont également à la même distance perpendiculaire 𝑑 du centre.
Pour calculer 𝑀, on prend 11 multiplié par 𝑑, puis multiplié par cinq. En saisissant cette expression sur notre calculatrice, lorsqu’on arrondit le résultat à deux chiffres décimaux, on obtient 605,61. Ce résultat est positif, selon notre convention sur le signe. Et les unités en question sont des newtons centimètres. À ce degré de précision, la magnitude du moment agissant sur notre pentagone est de 605,61 newton centimètres.
