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Vidéo de la leçon : Soustraction de vecteurs Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à soustraire des vecteurs à deux dimensions, en utilisant des méthodes graphiques et des méthodes algébriques.

14:25

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à soustraire des vecteurs, soit de façon graphique, soit en utilisant la notation de vecteurs unitaires.

Nous allons commencer avec la méthode graphique. Avant de commencer à apprendre à soustraire des vecteurs graphiquement, rafraîchissons notre mémoire sur ce qu’est un vecteur et aussi sa représentation graphique. Un vecteur est une grandeur ayant à la fois une amplitude et une direction. Voyons un exemple représentant deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Le vecteur 𝐀 a une amplitude de cinq unités et est orienté selon l’horizontale vers la droite de l’écran. On note que le vecteur 𝐀 est représenté avec une demi-flèche au-dessus de la lettre. Cette notation est une convention courante pour montrer qu’une variable est un vecteur. Sous forme de texte, il est habituel que la lettre représentant la variable soit en gras. On verra cette forme à travers quelques exemples de problèmes en fin de leçon.

On peut tracer le vecteur 𝐁 avec la même amplitude de cinq unités, mais cette fois, orienté verticalement vers le haut de l’écran. Ces deux vecteurs ont la même amplitude mais sont orientés selon des directions différentes. Il faut bien faire attention à s’assurer que les vecteurs sont tracés à la bonne longueur sur le schéma car cela affectera le résultat lors de la soustraction. Avant de passer à la soustraction de ces vecteurs, on trace un dernier vecteur ayant des composantes le long des axes horizontal et vertical.

La représentation graphique du vecteur 𝐂 a une longueur de sept unités le long de l’horizontale orientée vers la droite de l’écran et de quatre unités le long de la verticale orientée vers le haut de l’écran. On peut voir que le vecteur 𝐂 a une plus grande amplitude horizontale que le vecteur 𝐀 mais une plus petite amplitude verticale que le vecteur 𝐁. Maintenant que l'on a brièvement rappelé ce que sont les vecteurs et comment les représenter graphiquement, voyons comment les soustraire graphiquement.

Lorsque l’on soustrait le vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀, on peut écrire cette expression comme 𝐕, le vecteur résultant, qui est égal au vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. L’approche que l’on va utiliser pour soustraire graphiquement les vecteurs consiste à ajouter l’opposé du vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀, puis à appliquer la méthode tête-à-queue permettant d’ajouter des vecteurs. Cette opération est tout-à-fait possible car soustraire le vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀 revient à ajouter l’opposé négatif du vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀.

La valeur opposée, ou négative, d’un vecteur, dans ce cas, le vecteur moins 𝐁, signifie que le vecteur est pivoté de 180 degrés par rapport à sa position initiale. Le nouveau vecteur obtenu pointera donc dans la direction opposée, à la fois horizontalement et verticalement, au vecteur d’origine. Dans la méthode tête-à-queue, un vecteur est déplacé par translation, de sorte que sa queue coïncide avec la tête de l’autre vecteur. Le vecteur résultant est tracé en reliant la queue du vecteur qui n’a pas été déplacé à la tête du vecteur déplacé. Soustrayons le vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀, qui sont tous deux affichés sur la grille.

Avant de soustraire ces vecteurs, jetons un œil à leur amplitude et à leur direction. Le vecteur 𝐀 a une longueur de sept unités le long de l’axe horizontal orientée vers la droite de l’écran, et le vecteur 𝐁 a une amplitude de trois unités le long de l’axe horizontal orientée vers la droite de l’écran et quatre unités orientée verticalement vers le haut de l’écran. Pour trouver le vecteur obtenu en soustrayant le vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀, on peut d’abord tracer un vecteur qui représente l’opposé du vecteur 𝐁. Pour ce faire, on fait pivoter le vecteur 𝐁 de 180 degrés jusqu’à ce qu’il soit orienté dans la direction opposée à la fois horizontalement et verticalement au vecteur d’origine. La longueur du vecteur reste inchangée, même si l’orientation est inversée.

Dans notre exemple, le vecteur 𝐁 était de trois unités vers la droite et de quatre unités vers le haut. Par conséquent, le vecteur opposé moins 𝐁 sera de trois unités vers la gauche et de quatre unités vers le bas. On peut également tracer le vecteur opposé en inversant simplement la tête et la queue du vecteur d’origine. Dans ce cas, le vecteur moins 𝐁 aura sa queue sur la tête du vecteur 𝐁 et la tête du vecteur moins 𝐁 sera sur la queue du vecteur 𝐁. Quelle que soit la méthode utilisée, toutes deux donnent le même résultat pour le vecteur moins 𝐁.

Pour cet exemple, on utilisera le vecteur moins 𝐁 représenté par la ligne pointillée jaune. On peut maintenant appliquer la méthode dite du tête-à-queue. On laisse le vecteur 𝐀 en place et on glisse le vecteur moins 𝐁 jusqu’à ce que la queue du vecteur moins 𝐁 soit sur la tête du vecteur 𝐀. Il est important de glisser le vecteur moins 𝐁 et non le vecteur 𝐁 car sinon, on additionnerait les vecteurs originaux plutôt que de les soustraire. Le vecteur résultant est tracé depuis la queue du vecteur 𝐀 jusqu’à la tête du vecteur moins 𝐁. La direction dans laquelle est orientée ce vecteur résultant est selon le sens qui s’éloigne de l’origine, autrement dit, vers la tête du vecteur moins 𝐁. On peut appeler le vecteur résultant 𝐕 puisque c’est ainsi qu’on avait appelé notre vecteur situé en haut de l’écran. Ce vecteur résultant a une longueur de quatre unités orientée horizontalement vers la droite et de quatre unités orientée verticalement vers le bas de l’écran.

Une autre façon de soustraire des vecteurs consiste à utiliser la notation de vecteurs unitaires. On rappelle qu’un vecteur unitaire est un vecteur de longueur un. Si on revient aux trois vecteurs tracés au début de la vidéo, lorsqu’on s’est rappelé ce qu’était un vecteur et comment le dessiner graphiquement. Commençons par le vecteur 𝐀. On a dit que le vecteur 𝐀 avait une amplitude de cinq unités le long de l’axe horizontal orientée vers la droite de notre écran. En notation vectorielle unitaire, on peut dire que le vecteur 𝐀 a une valeur de cinq 𝐢 où le vecteur 𝐢 est orienté selon la direction horizontale. On peut écrire que le vecteur 𝐀 est égal à cinq 𝐢, où 𝐢 a un petit chapeau pour indiquer qu’il s’agit d’un vecteur unitaire. Sous forme de texte, notre 𝐢 pourrait être en gras pour montrer qu’il s’agit d’un vecteur unitaire.

Le vecteur 𝐁 avait également une amplitude de cinq unités, mais était orienté selon l’axe vertical. En notation vectorielle unitaire, on peut dire que le vecteur 𝐁 a une valeur de cinq 𝐣, où le vecteur 𝐣 est orienté selon la direction verticale. On peut écrire que le vecteur 𝐁 est égal à cinq 𝐣, où 𝐣 a un petit chapeau pour indiquer sa notation vectorielle unitaire. Le vecteur 𝐂 avait une amplitude de sept unités orientée vers la droite le long de l’axe horizontal et de quatre unités orientée vers le haut de l’écran le long de l’axe vertical. En notation vectorielle unitaire, le vecteur 𝐂 aurait une valeur de sept 𝐢 plus quatre 𝐣, où le vecteur 𝐢 est orienté selon la direction horizontale et le vecteur 𝐣 est orienté selon la direction verticale.

Maintenant que l’on a brièvement récapitulé ce que sont les vecteurs unitaires, on va pouvoir s’intéresser à la soustraction de ces vecteurs lorsqu’ils sont exprimés en notation vectorielle unitaire. Lorsque l’on soustrait des vecteurs exprimés en notation vectorielle unitaire, on doit soustraire leurs différentes composantes. Cela signifie qu’on doit soustraire les 𝐢 circonflexes ensembles et les 𝐣 circonflexes séparément. Le vecteur résultant 𝐕 aura une composante 𝐢 qui sera égale à la soustraction des composantes 𝐢 entre-elles, et une composante 𝐣 qui sera égale à la soustraction des composantes 𝐣 entre-elles.

Si on a deux vecteurs exprimés en notation vectorielle unitaire, avec le vecteur 𝐀 égal à huit 𝐢 plus 10 𝐣 et le vecteur 𝐁 égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣, quelle sera la valeur du vecteur résultant égale au vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 On note le vecteur 𝐕 comme vecteur résultant de la soustraction du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. On peut commencer par soustraire les composantes 𝐢. Huit 𝐢 moins trois 𝐢 font cinq 𝐢. Ensuite, on soustrait les composantes 𝐣. 10𝐣 moins deux 𝐣 font huit 𝐣. Le vecteur résultant 𝐕 a une valeur de cinq 𝐢 plus huit 𝐣.

Maintenant, regardons ce qui se passe si on change l’ordre de la soustraction, c’est-à-dire que cette fois, le vecteur résultant 𝐕 sera égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Voyons cela à la fois de façon graphique et en notation vectorielle unitaire. On utilisera ici les mêmes vecteurs que ceux utilisés dans la méthode graphique. On soustrait le vecteur 𝐀 au vecteur 𝐁. On peut donc commencer par écrire le vecteur 𝐁 en notation vectorielle unitaire. Le vecteur 𝐁 a une composante horizontale de trois unités orientée vers la droite de l’écran. Par conséquent, la composante 𝐢 du vecteur 𝐁 sera de trois. Le vecteur 𝐁 a également une composante verticale de quatre unités orientée vers le haut de l’écran. Ainsi, la composante 𝐣 du vecteur 𝐁 sera de quatre. Le vecteur 𝐀 a une valeur de sept unités orientée horizontalement vers la droite. En notation vectorielle unitaire, on peut écrire que le vecteur 𝐀 est égal à sept 𝐢 plus zéro 𝐣.

Effectuons à présent la soustraction graphique de ces vecteurs. On se rappelle que soustraire le vecteur 𝐀 revient au même que d’ajouter le vecteur moins 𝐀. On se rappelle également du début de la vidéo où on a établi que tracer l’opposé d’un vecteur revient à tracer un vecteur retourné de 180 degrés par rapport à l’original. Puisque le vecteur 𝐀 a une valeur de sept unités orientée horizontalement vers la droite, le vecteur moins 𝐀 aura une valeur de sept unités orientée horizontalement vers la gauche. Ensuite, on applique la méthode tête-à-queue en faisant glisser le vecteur moins 𝐀 jusqu’à ce que la queue du vecteur moins 𝐀 se trouve à la tête du vecteur 𝐁. Le vecteur résultant est tracé depuis la queue du vecteur 𝐁 jusqu’à la tête du vecteur moins 𝐀 et est orienté selon la direction qui s’éloigne de l’origine, autrement dit, en direction de la tête du vecteur moins 𝐀.

On peut voir que notre vecteur résultant 𝐕 a une longueur de quatre unités le long de l’horizontale orientée vers la gauche de l’écran et une longueur de quatre unités le long de la verticale orientée vers le haut de l’écran. En notation vectorielle unitaire, notre vecteur résultant 𝐕 est égal à moins quatre 𝐢 pour les quatre unités orientées selon l’horizontale vers la gauche de l’écran plus quatre 𝐣 pour les quatre unités orientées selon la verticale vers le haut de notre écran. On peut vérifier que notre vecteur résultant est juste en soustrayant le vecteur 𝐀 au vecteur 𝐁, par le biais de la notation vectorielle unitaire.

Trois 𝐢 moins sept 𝐢 est égal à moins quatre 𝐢 et quatre 𝐣 moins zéro 𝐣 est égal à quatre 𝐣. Cela correspond aux résultats que l’on a obtenus avec la méthode graphique. Comparons maintenant la résultante du vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀 à notre résultante précédente du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. On a tracé un vecteur en pointillé rose pour représenter le vecteur résultant de 𝐀 moins 𝐁. On note que le vecteur résultant de 𝐀 moins 𝐁 est l’opposé du vecteur représentant 𝐁 moins 𝐀. Si on devait écrire cela sous forme d’équation, on pourrait dire que le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égal à l’opposé du vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀.

En comparant les vecteurs résultants du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁, qui est égal à quatre 𝐢 moins quatre 𝐣, et le vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀, qui est égal à moins quatre 𝐢 plus quatre 𝐣. On s’aperçoit, ici encore, que le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égal à l’opposé du vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. À présent, étudions deux exemples de soustraction de vecteurs, l’un où l’on va soustraire graphiquement les vecteurs et l’autre où l’on va les soustraire en utilisant la notation unitaire vectorielle.

La figure montre sept vecteurs 𝐀, 𝐁, 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 et 𝐓. Lequel de ces vecteurs est égal à 𝐀 moins 𝐁 ?

On nous demande de trouver la résultante vectorielle du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. Puisque les vecteurs nous ont été donnés graphiquement, on peut résoudre cette soustraction vectorielle en utilisant une méthode graphique. On se rappelle que soustraire le vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀, revient à ajouter l’opposé du vecteur 𝐁 au vecteur 𝐀. Pour résoudre notre problème, on doit donc tracer le vecteur opposé au vecteur 𝐁. Un vecteur négatif est un vecteur ayant effectué une rotation de 180 degrés par rapport au vecteur d’origine. Le vecteur 𝐁 avait une amplitude de trois unités orientée vers la droite de l’écran. Par conséquent, le vecteur moins 𝐁 aura une valeur de trois unités orientée vers la gauche de l’écran. Le vecteur 𝐁 avait également une longueur de cinq unités orientée vers le haut de l’écran et, par conséquent, le vecteur moins 𝐁 aura une valeur de cinq unités orientée vers le bas de l’écran.

Maintenant que l’on a tracé le vecteur moins 𝐁, on peut additionner le vecteur 𝐀 et le vecteur moins 𝐁 en utilisant la méthode tête-à-queue. Dans la méthode tête-à-queue, un vecteur glisse jusqu’à ce que sa queue soit sur la tête de l’autre vecteur. La résultante est tracée depuis la queue du vecteur immobile jusqu’à la tête du vecteur déplacé. Dans notre problème, on va faire glisser le vecteur moins 𝐁 jusqu’à ce qu’il soit à la tête du vecteur 𝐀. Ensuite, on trace le vecteur résultant reliant la queue du vecteur 𝐀 à la tête du vecteur moins 𝐁. La résultante en orientée selon la direction opposée à l’origine, c’est-à-dire, vers la tête du vecteur moins 𝐁. On peut voir que le vecteur 𝐐 se superpose parfaitement au vecteur résultant du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. Par conséquent, on peut déduire que sur les sept vecteurs représentés, le vecteur 𝐐 est égal au vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁.

À présent, soustrayons deux vecteurs en utilisant la notation vectorielle unitaire.

Soient deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, où 𝐀 est égal à huit 𝐢 plus 10𝐣 et 𝐁 est égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣. Calculer 𝐀 moins 𝐁.

Dans notre problème, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont donnés en notation vectorielle unitaire. Aussi, on se rappelle que pour soustraire des vecteurs en notation vectorielle unitaire, il faut soustraire leurs différentes composantes individuelles ensemble. C’est-à-dire qu’on va soustraire les 𝐢 et les 𝐣 séparément. On peut aligner les vecteurs verticalement avec le signe de soustraction pour faciliter la soustraction de leurs différentes composantes. On met des chapeaux sur nos vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 lorsqu’on pose le problème ici. Mais dans le texte d’énoncé du problème, 𝐢 et 𝐣 ont été mis en gras pour montrer qu’ils étaient des vecteurs unitaires.

On choisit d’appeler 𝐕 le vecteur résultant de 𝐀 moins 𝐁. Pour trouver la résultante, on commence par les composantes 𝐢. Huit 𝐢 moins trois 𝐢 font cinq 𝐢. Ensuite, on soustrait les 𝐣. 10𝐣 moins deux 𝐣 font huit 𝐣. Lorsque l’on soustrait deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, où 𝐀 est égal à huit 𝐢 plus 10𝐣 et 𝐁 est égal à trois 𝐢 plus deux 𝐣, on obtient une résultante de cinq 𝐢 plus huit 𝐣.

Points clés de la leçon.

Pour soustraire des vecteurs de façon graphique, il faut tracer un vecteur correspondant à l’opposé du vecteur soustrait, puis appliquer la méthode tête-à-queue. Pour soustraire des vecteurs en notation vectorielle unitaire, il faut soustraire séparément les composantes individuelles 𝐢 et les composantes individuelles j. Le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égal à l’opposé du vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀.

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