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Vidéo de question : Déterminer la distance entre un point et l’origine en utilisant la formule de la distance entre deux points Mathématiques

Calculez la distance entre le point (-2; 4) et l’origine.

03:22

Transcription de vidéo

Calculez la distance entre le point moins deux, quatre et l’origine.

Pour nous aider à résoudre cette question, j’ai dessiné un schéma rapide. J’ai en fait représenté un repère avec deux axes. Sur lequel se situent deux points. Le point moins deux, quatre. Et le point zéro, zéro. Qui a ces coordonnées car il s’agit de l’origine. Et ce que nous essayons de faire est de calculer la distance entre ces deux points. Je l’ai représenté par le segment rose.

Nous devons alors utiliser la formule de la distance entre deux points. Elle stipule que la distance est égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré.

Il s’agit donc de la racine carrée de la différence des abscisses au carré plus la différence des ordonnées au carré. Mais pourquoi celle formule nous donne-t-elle la distance ? Eh bien, elle provient en réalité du théorème de Pythagore.

Dessinons un petit triangle pour nous aider à comprendre cela. J’ai donc un triangle rectangle ici. Et la distance correspond en fait à son hypoténuse. La différence entre les ordonnées est un des côtés les plus courts. Et la différence des abscisses est l’autre côté le plus court. On peut donc adapter le théorème de Pythagore pour calculer l’hypoténuse ou, dans ce cas, la distance.

Très bien ! Utilisons à présent cette formule pour calculer la distance entre notre point et l’origine. Je commence par nommer les coordonnées. Cela nous permettra de remplacer les valeurs dans la formule sans faire d’erreurs. Ce que nous allons faire tout de suite.

La distance est donc égale à racine carrée de zéro moins moins deux au carré. Car cela fait 𝑥 deux, qui est égal à zéro, moins 𝑥 un, qui est égal à moins deux. Et le tout au carré. Plus zéro moins quatre au carré. Car il s’agit des valeurs de 𝑦 deux et 𝑦 un. La distance est ainsi égale à racine carrée de deux au carré plus moins quatre au carré.

Et comme vous pouvez le voir à ce stade, on calcule en fait les carrés des différences des abscisses et des ordonnées. Cela signifie que l’ordre dans lequel on choisit les points n’a pas d’importance. Si on décidait d’échanger 𝑥 un, 𝑦 un avec et 𝑥 deux, 𝑦 deux, cela fonctionnerait toujours parce qu’on calcule la différence au carré. Donc, la réponse est toujours positive.

On peut maintenant continuer et dire que la distance est égale à racine carrée de 20. D’accord, mais est-ce la réponse finale ? Bien sûr, nous avons une réponse ici. Mais si vous obtenez une réponse avec des racines carrées, je vous conseille toujours de la simplifier où vous le pouvez. Nous allons donc essayer de la simplifier davantage.

Nous allons pour cela utiliser cette propriété des racines qui stipule que racine carrée de 𝑎 fois racine carrée de 𝑏 égale racine carrée de 𝑎𝑏 ; dans ce cas, ce que l’on souhaite en fait est que 𝑎 ou 𝑏 soit le plus grand carré parfait diviseur de 20 ; on peut donc dire que racine carrée de 20 est égal à racine carrée de quatre fois racine carrée de cinq. Et racine carrée de quatre égale deux.

On conclut donc que la distance entre le point moins deux, quatre et l’origine est égale à deux racine carrée de cinq. Et la question n’indique aucune unité. On dit donc généralement qu’elle est égale à deux racine carrée de cinq unités de longueur.

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