Transcription de la vidéo
Dans une école, les poids des élèves sont normalement distribués avec une moyenne de 66 kilogrammes et une variance de 16 kilogrammes au carré. Quel est le pourcentage des élèves pesant entre 54 kilogrammes et 70 kilogrammes ?
On nous a dit que cet ensemble de données est normalement distribué. Et sa moyenne 𝜇 est 66 et sa variance 𝜎 au carré est 16. Nous cherchons à déterminer le pourcentage d’élèves qui pèsent entre 54 et 70 kilogrammes.
Et il peut être utile de considérer cette courbe en forme de cloche qui représente une distribution normale. Cette courbe est symétrique par rapport à la moyenne et l’aire totale sous la courbe est égale à un, ou 100 pour cent. Rappelons que la moyenne de l’ensemble des données est 66. Et comme nous cherchons à déterminer le pourcentage d’élèves qui pèsent entre 54 et 70 kilogrammes, nous devons déterminer la probabilité qu’un élève se trouve dans la zone colorée.
Et pour cela, il faut standardiser les données en utilisant la variable 𝑍. C’est une façon de mettre à l’échelle les données. Et cela nous permet de déterminer des probabilités en utilisant la table de valeurs de la loi normale standard. Cette loi possède une moyenne 𝜇 zéro et un écart-type un.
La variable 𝑍 est égale à 𝑋 moins 𝜇 - la moyenne - sur 𝜎, où 𝜎 est l’écart-type. Nous pouvons déterminer la racine carrée de la variance. Et en faisant cela, nous voyons que l’écart-type de l’ensemble de données est de quatre. Les deux valeurs de 𝑋 pour lesquelles nous cherchons les valeurs correspondantes de 𝑍 sont 54 kilogrammes et 70 kilogrammes.
Pour une valeur 𝑋 de 54, l’expression de 𝑍 est 54 moins 66 sur quatre. Ce qui donne moins trois. Et pour une valeur 𝑋 de 70, l’expression devient 70 moins 66 sur quatre. Et la deuxième valeur de 𝑍 est un. Nous pouvons donc voir que pour déterminer la probabilité qu’un étudiant pèse entre 54 et 70 kilogrammes, il faut déterminer la probabilité que 𝑍 soit supérieur à moins trois et inférieur à un.
Et comme ces probabilités sont cumulatives, nous pouvons dire que pour déterminer cette probabilité, il faut soustraire la probabilité que 𝑍 soit inférieure ou égale à moins trois de la probabilité que 𝑍 soit inférieure à un. Et nous pouvons chercher la valeur correspondante à 𝑍 égale un dans la table de valeurs de la loi normale standard, il s’agit de 0,8413. Donc, la probabilité que 𝑍 soit inférieur à un, c’est-à-dire la probabilité qu’un étudiant pèse moins de 70 kilogrammes, est égale à 0,8413.
Mais qu’en est-il de la probabilité que 𝑍 soit inférieur à moins trois ? Il n’y a pas de valeurs négatives dans notre table de valeurs. Eh bien, si nous regardons la courbe normale standard, nous pouvons voir que la probabilité que 𝑍 soit inférieure à moins trois correspond à cette zone colorée.
Et nous avons dit que cette courbe est symétrique par rapport à la moyenne. On peut donc dire que la probabilité que 𝑍 soit inférieure à moins trois est égale à la probabilité que 𝑍 soit supérieure à trois. Et en fait, pour déterminer la probabilité que 𝑍 soit supérieur à trois, nous pouvons écrire un moins la probabilité que 𝑍 soit inférieur à trois car l’aire totale sous la courbe est égale à un. La probabilité que 𝑍 soit inférieur à trois selon notre table normale standard est égale à 0,9987.
Donc, la probabilité que 𝑍 soit supérieur à trois, c’est-à-dire la probabilité que 𝑍 soit inférieure à moins trois, est un moins 0,9987, soit 0,0013. Et cela signifie que la probabilité que 𝑍 soit supérieur à moins trois et inférieur à un est 0,8413 moins 0,0013. Ce qui donne 0,84.
Et pour passer d’un nombre décimal à un pourcentage, il faut multiplier par 100. Donc, 0,84 est égal à 84 pour cent. Et on peut dire que le pourcentage d’élèves qui pèsent entre 54 et 70 kilogrammes est de 84 pour cent.
