Vidéo question :: Déterminer la distance perpendiculaire entre un point donné et une droite passant par un autre point compte tenu de la pente de la droite Mathématiques

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Déterminez la longueur du segment perpendiculaire allant du point 𝐴 : moins huit, cinq à la droite passant par le point 𝐵 : deux, moins quatre et dont le coefficient directeur vaut moins huit.

Ainsi, pour résoudre ce problème, nous avons en fait une formule que nous pouvons utiliser, elle nous aide à trouver la longueur de segment perpendiculaire allant d’un point à une droite. Cependant, nous devons avoir notre point, qui est 𝑥 un, 𝑦 un. Nous devons avoir notre droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Cette formule dit que 𝐿, notre distance perpendiculaire, est égal au module ou à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐. Tout cela sur la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré.

Bien, cette formule est parfaitement appropriée dans notre cas. Cependant, nous n’avons pas encore notre droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. Cela va donc être la première chose que nous allons travailler. Seulement, comment allons-nous faire ceci ? Bien, nous allons utiliser la forme réduite de l’équation d’une droite. Il s’agit de la forme suivante : 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐, où 𝑚 est le coefficient directeur et 𝑐 est l’ordonnée à l’origine. Bien, pour commencer, nous avons 𝑦 est égal à moins huit 𝑥 plus 𝑐. En effet, nous savons que le coefficient directeur est égal à moins huit. Nous ne connaissons pas 𝑐, alors comment pouvons-nous trouver 𝑐 ?

Bien, nous connaissons un point sur une droite car nous savons que la droite passe par le point 𝐵, qui est deux, moins quatre. Nous pouvons donc les remplacer par nos valeurs 𝑥 et 𝑦. Ainsi, 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à moins quatre. Nous pouvons utiliser ceci pour trouver notre valeur de 𝑐. Ainsi, quand nous faisons cela, nous allons obtenir moins quatre est égal à moins huit multiplié par deux plus 𝑐. Nous allons donc obtenir moins quatre est égal à moins 16 plus 𝑐. Alors, nous pouvons ajouter 16 à chaque côté de l’équation pour trouver 𝑐. Quand nous ferons cela, nous allons obtenir 12 est égal à 𝑐. Nous avons donc maintenant l’équation de notre droite car nous pouvons substituer la valeur de 𝑐 dedans. Ainsi, quand nous faisons cela, nous allons obtenir 𝑦 est égal à moins huit 𝑥 plus 12.

Cependant, ce n’est pas tout à fait sous la forme que nous voulions parce que nous la voulions sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. Ainsi, nous devons faire un peu de réarrangement pour ça. Si nous ajoutons huit 𝑥 et soustrayons 12 de chaque côté de l’équation, nous allons obtenir huit 𝑥 plus 𝑦 moins 12 est égal à zéro. Maintenant, nous avons l’équation de la droite sous la forme que nous voulions. Nous avons donc nos valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ; 𝑎 est égal à huit, 𝑏 est égal à un et 𝑐 est égal à moins 12. Ainsi, comme nous l’avons dit, nous avons 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Cependant, pour utiliser notre formule, nous avons également besoin de 𝑥 un, 𝑦 un. Bien, notre 𝑥 indice un et 𝑦 indice un vont être les coordonnées du point à partir duquel notre segment perpendiculaire est dessiné. Ainsi, nous allons avoir 𝑥 indice un égal à moins huit et 𝑦 indice un est égal à cinq.

Alors maintenant, nous avons toutes nos parties constituantes. Nous pouvons les mettre dans notre formule pour trouver la longueur de notre segment perpendiculaire. Nous pouvons donc dire que 𝐿 est égal au module ou à la valeur absolue de huit multiplié par moins huit plus un multiplié par cinq moins 12. Le tout sur la racine de huit au carré plus un carré. En fin de compte, nous allons avoir 𝐿 est égal à la valeur absolue ou au module de moins 64 plus cinq moins 12 sur la racine de 65. 𝐿 est donc égal au module ou à la valeur absolue de moins 71 sur la racine de 65, ce qui est juste égal à 71 sur la racine de 65 parce que si nous prenons la valeur absolue ou le module, alors nous ne sommes intéressés que par la norme ou la valeur positive.

Bien, maintenant, nous pourrions simplement avoir la valeur 71 sur racine de 65. Cependant, si nous avons une racine carrée ou une racine en bas, sur le dénominateur, nous voulons rationaliser le dénominateur. Pour ce faire, nous multiplions par racine de 65 sur racine de 65. Pourquoi faisons-nous cela? Bien, nous le faisons parce que si nous avons la racine de 𝑎 multipliée par la racine de 𝑎, cela équivaut à 𝑎. Si nous multiplions donc racine de 65 par racine de 65, nous allons juste obtenir 65. Nous pouvons donc dire que la longueur du segment perpendiculaire allant du point 𝐴 : moins huit, cinq à la droite qui passe par le point 𝐵 : deux, moins quatre et dont le coefficient directeur est égal à moins huit est 71 racine de 65 sur 65.